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1、1.（本题满分14分）已知函数，且其导函数的图像过原点.(1)当时，求函数的图像在处的切线方程;(2)若存在，使得，求的最大值；(3)当时，求函数的零点个数。解: ,由得 ,. -2分(1) 当时, ,，,所以函数的图像在处的切线方程为,即-4分(2) 存在,使得, ，当且仅当时，所以的最大值为. -9分f(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增 (3) 当时，的变化情况如下表：-11分的极大值，的极小值又，.所以函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。-14分注：证明的极小值也可这样进行:设，则当时, ,当时, ,函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,故函数在区间上的最大值为,从
2、而的极小值.证明函数共有三个零点。也可这样进行:的极大值，的极小值,当无限减小时，无限趋于 当 无限增大时，无限趋于故函数在区间内各有一个零点，故函数共有三个零点。2、（本小题满分14分）已知函数在处取得极值.求的解析式；设是曲线上除原点外的任意一点,过的中点且垂直于轴的直线交曲线于点,试问：是否存在这样的点,使得曲线在点处的切线与平行？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；设函数,若对于任意,总存在,使得,求实数的取值范围.解：,.又在处取得极值.,即,解得,经检验满足题意,. （4分）由知.假设存在满足条件的点,且,则,又.则由,得,得.故存在满足条件的点,此时点的坐标为或. （8分）
3、解法： ,令,得或.当变化时,、的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增极大值单调递减在处取得极小值,在处取得极大值.又时,的最小值为. 对于任意的,总存在,使得,当时,最小值不大于.又.当 时,的最小值为,由,得； 当时,最小值为,由,得；当时,的最小值为.由,即,解得或.又,此时不存在. 综上,的取值范围是. (14分) 解法：同解法得的最小值为. 对于任意的,总存在,使得,当时,有解,即在上有解.设,则得, 或,得或. 或时,在上有解,故的取值范围是. 解法：同解法得的最小值为. 对于任意的,总存在,使得,当时,有解,即在上有解.令,则,.当时,；当时,得,不成立,不存在；当时,.令,时
4、,在上为减函数,. 综上,的取值范围是.3、（本小题满分14分）已知函数是函数的极值点. （1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数有两个零点，求实数满足的条件；（3）直线是函数与函数 的图象在处的公切线，若，求的取值范围.（本小题满分14分）解：（1）,1分由已知得，解得a=1 2分当时，当时， 3分当时，的递增区间为，递减区间为 4分（2）由（1）知，当时，单调递减，当，单调递增，. 6分要使函数有两个零点，则函数的图象与直线有两个不同的交点.当时，m=0或； 7分当b=0时，； 8分当. 9分（3） 时，两式相除得，整理得 12分令则 在递减仅在取等号， 在递减 14分4、（本小题14分
5、）已知函数在上是增函数,在(0,1)上是减函数.（I）求、的表达式；（II）求证:当时,方程有唯一解；(III）当时,若当时恒成立,求的取值范围.解: （I）依题意,即,.上式恒成立, 1分又,依题意,即,.上式恒成立, 2分由得. 3分 4分（II）由(1)可知,方程,设,令,并由得解知 5分令由 6分列表分析:(0,1)1(1,+)-0+递减0递增知在处有一个最小值0, 7分当时,0,在(0,+)上只有一个解.即当x0时,方程有唯一解.8分（III）设, 9分在为减函数 又 11分所以：为所求范围. 121、（本小题满分14分）已知圆:交轴于、两点,曲线是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点
6、为,若是圆上一点,连结,过原点作直线的垂线交直线于点.()求椭圆的标准方程；()若点的坐标为求证:直线与圆相切；()试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由. 解:()因为,所以c=1,则b=1,所以椭圆C的标准方程为 5分()P(1,1),直线OQ的方程为y=-2x, 点Q(-2,4)7分,又,即OPPQ,故直线PQ与圆O相切 10分()当点P在圆O上运动时,直线PQ与圆O保持相切 11分证明:设(),则,所以,所以直线OQ的方程为所以点Q(-2,) 12分所以,又 13分所以,即OPPQ,故直线PQ始终与圆O相切
7、. 14分2、（本小题满分14分）已知圆直线（）求圆的圆心坐标和圆的半径；（）求证:直线过定点；（）判断直线被圆截得的弦何时最长,何时最短?并求截得的弦长最短时的值,以及最短长度.（I）圆：可变为：1分由此可知圆的圆心坐标为，半径为3分（）由直线可得4分对于任意实数，要使上式成立，必须5分解得：6分所以直线过定点7分()当圆心在直线上，圆截得的弦为直径，此时弦最长；8分当圆心与定点的连线与垂直时，直线被圆截得的弦为最短。9分由条件得：10分解得11分连结，在直角三角形中，12分13分14分3（本小题满分14分）已知圆：及定点，点是圆上的动点，点在上，点在上，且满足2， （1）若，求点的轨迹的方
8、程；（2）若动圆和（1）中所求轨迹相交于不同两点，是否存在一组正实数，使得直线垂直平分线段，若存在，求出这组正实数；若不存在，说明理由解：（1）点为的中点，又，或点与点重合 2分又点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，的轨迹方程是 6分解：（2）不存在这样一组正实数，下面证明： 7分由题意，若存在这样的一组正实数，当直线的斜率存在时，设之为，故直线的方程为： ，设，中点，则，两式相减得：9分注意到，且 ， 则 ， 又点在直线上，代入式得：因为弦的中点在所给椭圆内，故，这与矛盾，所以所求这组正实数不存在 13分当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则此时，代入式得，这与是不同两点矛盾综上，所求的这组正实数
9、不存在 14分yP xBAC04（本小题14分）如图，已知点P(3，0)，点A、B分别在x轴负半轴和y轴上，且0，当点B在y轴上移动时，记点C的轨迹为E(1)求曲线E的方程；(2)已知向量(1，0)，(0，1)，过点Q(1，0)且斜率为的直线l交曲线E于不同的两点M、N，若D(1，0)，且0，求k的取值范围20. 解: (1)设A(a，0)(a0，B(0，b)，C(x，y)则(xa，y)，(a，b)，(3，b)，0， 消去a、b得：y24x , a0，x3a0. 故曲线E的方程为y24x (2)设R(x，y)为直线l上一点，由条件知)即(x1，y)(1，k)，消去得l的方程为：yk(x1) 由k2x22(k22)xk20 (*)直线l交曲线E与不同的两点M、N0 1k1 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则(x11，y1)，(x21，y2)M、N在直线yk(x1)上，y1k(x11)，y2k(x21)又由(*)，有x1x2，x1x22(x11)(x21)y1y2 (x11)(x21)k2(x11)(x21)(k21)x1x2(1k2)(x1x2)k21由条件知：0 k2 由知：1k或k1 点评利用化归思想把给出的平面向量条件转化为坐标来解决
