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1、 . . 线性代数（经管类）考点第一章 行列式（一）行列式的定义行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1二阶行列式由4个数得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规则为2三阶行列式由9个数得到下列式子：称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式与代数余子式的概念.3余子式与代数余子式设有三阶行列式 对任何一个元素，我们划去它所在的第i行与第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成例如 ，再记
2、 ，称为元素的代数余子式.例如 ，那么 ，三阶行列式定义为我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成4n阶行列式一阶行列式 n阶行列式 其中为元素的代数余子式.5特殊行列式上三角行列式下三角行列式对角行列式 （二）行列式的性质性质1 行列式和它的转置行列式相等，即性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1 如果行列式中有某两行（列）一样，则此行列式的值等于零.推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4 行列式可以按行（列）拆开.性
3、质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即或前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2 n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即或（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新
4、的行列式的前面乘上（1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：例1计算行列式 解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2 计算行列式 解：方法1这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和一样行列式），我们可以先把后三列都加
5、到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：方法2 观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与 有一样值的五阶行列式：这样得到一个“箭形”行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（1）化为零.例3 三阶德蒙德行列式 （四）克拉默法则定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有定理2 设有含n个方程的n元齐次线性方程组如果其系数行列式，则该方程组只有零解：换句话说，若齐次线
6、性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章 矩阵（一）矩阵的定义1矩阵的概念由个数排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵或矩阵当时，称为n阶矩阵或n阶方阵元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示23个常用的特殊方阵：n阶对角矩阵是指形如 的矩阵n阶单位方阵是指形如 的矩阵n阶三角矩阵是指形如 的矩阵3矩阵与行列式的差异矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算1矩阵的同型与
7、相等设有矩阵，若，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2矩阵的加、减法设，是两个同型矩阵则规定注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有一样的运算律.3数乘运算设，k为任一个数，则规定故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4乘法运算设，则规定其中由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等
8、时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：不满足交换律，即在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律与与数乘的结合律.5方阵的乘幂与多项式方阵设A为n阶方阵，则规定特别又若，则规定称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵6矩阵的转置设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，由转置运算给出对称矩阵，反对
9、称矩阵的定义设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.7方阵的行列式矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则；（三）方阵的逆矩阵1可逆矩阵的概念与性质设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为，从而A与首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则是可逆
10、矩阵，且；AB是可逆矩阵，且；kA是可逆矩阵，且是可逆矩阵，且可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即 设P为可逆矩阵，则2伴随矩阵设为一个n阶方阵，为A的行列式中元素的代数余子式，则矩阵称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点）伴随矩阵必满足 （n为A的阶数）3n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法定理：n阶方阵A可逆，且推论：设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且， 例1 设（1）求A的伴随矩阵（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求 解：（1）对二阶方阵A，求的口诀为“主交换，次变号”即（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵此时（四）分块矩阵1 分块矩阵的概念与运算对于行数和列
11、数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘与转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.2准对角矩阵的逆矩阵形如 的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且（五）矩阵的初等变换与初等方阵1 初等变换对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1
12、）交换A的某两行（列）；（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2初等方阵由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3初等变换与初等方阵的关系设A为任一个矩
13、阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4矩阵的等价与等价标准形若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为对任一个矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.即对任一个矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得 5用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵设A为任一个n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）然后 注意：这里的初等变换必须是初等行变换. 例2 求的逆矩阵 解：则 例3 求解矩阵方程解：令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得也能用初等行变换法，不用求出，而直接求则 （六）矩阵的秩1 秩的定义设A为矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩或零矩阵的秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2 秩的求法由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.3与满秩矩阵等价的条件n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使A非奇异，即A的等价标准形为EA可以表示为有限个初等方阵的乘积齐次线性方程组只有零解对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解A的行（列）向量组线性无关A的行（列）向量组为的
