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1、北京大学2010年数学分析考研试题及解答.1、用有限覆盖定理证明聚点定理。证明：设为有界数列。若，则即为之聚点。否则，。现用反证法证明至少有一聚点。若均不是的聚点，而，但由有限覆盖定理，而矛盾。2、是否存在数列，其极限点构成的集合为，说明理由。解答：不存在。因为极限点的集合为闭集，而不闭，因为。3、设为无穷区间，为上的非多项式连续函数。证明：不存在上一致收敛的多项式序列，其极限函数为。证明：若为多项式序列，而在上，我们将证明亦为多项式，而有所证。事实上，由，及为多项式知为常数，且数列具有性质；a ;b 对固定的，存在；这是因为，而为列。现对一固定，令，而为多项式。4、设在上连续，在内可导，且满
2、足。求证：存在，使得。证明：记，则由积分中值定理，。而中值定理推得，即。5、设是有界闭区间，证明函数序列在上一致收敛。如果是有界开区间，问在上是否仍然一致收敛？说明理由。证明：a.在有界闭区间上一致收敛。 由知，在上一致连续，现由中值定理，此即于上。b.当为有界开区间时，在上不一定一致收敛。事实上，我们有例子，对但不是一致收敛； 6、构造上的函数，使其在上间断，其他点连续。解答：记，。则a. 当时，。b. 在处连续。7、设广义积分与均收敛。证明： 在上有定义，并且有连续导函数。证明：对任意的，有 ，由判别法，知以上在上有定义，对任意， ,当时，关于一致；当时，关于一致，根据判别法，在上一致，又
3、在上也是一致的（证法同上面的类似），所以在上连续，由于的任意性，可知在上有连续的导函数。8、计算曲线积分，其中为与的交线，从轴正向看是逆时针。解：记，利用公式得 。9、证明下面的方程在点附近唯一确定了隐函数，并将在点展开为带皮亚诺型余项的泰勒公式，展开到二阶。证明：记，。由，及隐函数存在定理，知存在唯一定义在附近，满足又。由，得，在处 ，得，。故在的泰勒展开为。10、设是上的非负单调递减连续函数，且和均发散。设，试问是否一定发散？说明理由。解：未必是发散的。例如 记，考虑阶梯函数，则 ，但是，从而，然后再把阶梯函数改造连续函数，改造方法如下：在区间端点挖一小段，比如第一个间断点取长的小段，第二个间断第个间断点取，在小段上用直线连接起来就可以。由于都是有界的，这样去掉的小段总长也是有界的，那么阶梯函数和这样改造成的连续函数在这些小段上的积分也只相差一个有界的量，从而构造的连续函数的积分也是发散的。
