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1、第35讲 构造与论证1内容概述各种探讨给定要求能否实现，设计最佳安排和选择方案的组合问题这里的最佳通常指某个量达到最大或最小解题时，既要构造出取得最值的具体实例，又要对此方案的最优性进行论证论证中的常用手段包括抽屉原则、整除性分析和不等式估计典型问题2.有3堆小石子，每次允许进行如下操作：从每堆中取走同样数目的小石子，或是将其中的某一石子数是偶数的堆中的一半石子移入另外的一堆开始时，第一堆有1989块石子，第二堆有989块石子，第三堆有89块石子问能否做到： (1)某2堆石子全部取光? (2)3堆中的所有石子都被取走? 【分析与解】 (1)可以，如(1989，989，89) (1900，900
2、，0)(950，900，950)(50，0，50)(25，25，50)(O，0，25)(2)因为操作就两种，每堆取走同样数目的小石子，将有偶数堆石子堆中一半移至另一堆，所以每次操作石子总数要么减少3的倍数，要么不变现在共有1989+989+89=3067，不是3的倍数，所以不能将3堆中所有石子都取走4.在某市举行的一次乒乓球邀请赛上，有3名专业选手与3名业余选手参加.比赛采用单循环方式进行，就是说每两名选手都要比赛一场为公平起见，用以下方法记分：开赛前每位选手各有10分作为底分，每赛一场，胜者加分，负者扣分，每胜专业选手一场加2分，每胜业余选手一场加1分；专业选手每负一场扣2分，业余选手每负一
3、场扣1分问：一位业余选手最少要胜几场，才能确保他的得分比某位专业选手高?【分析与解】 当一位业余选手胜2场时，如果只胜了另两位业余选手，那么他得10+2-3=9(分)此时，如果专业选手间的比赛均为一胜一负，而专业选手与业余选手比赛全胜，那么每位专业选手的得分都是10+2-2+3=13(分)所以，一位业余选手胜2场，不能确保他的得分比某位专业选手高当一位业余选手胜3场时，得分最少时是胜两位业余选手，胜一位专业选手，得10+2+2-2=12(分)此时，三位专业选手最多共得30+0+4=34(分)，其中专业选手之间的三场比赛共得0分，专业选手与业余选手的比赛最多共得4分.由三个人得34分，343=1
4、1，推知，必有人得分不超过11分. 也就是说，一位业余选手胜3场，能确保他的得分比某位专业选手高.6.如图35-1，将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数分别填入图中的10个圆圈内，使任意连续相邻的5个圆圈内的各数之和均不大于某个整数M.求M的最小值并完成你的填图. 【分析与解】 要使M最小，就要尽量平均的填写，因为如果有的连续5个圆圈内的数特别小，有的特别大，那么M就只能大于等于特别大的数，不能达到尽量小的目的 因为每个圆圈内的数都用了5次，所以10次的和为5(1+2+3+10)=275 每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275，整数M大于28下面来验证M=28时是否成立，
5、注意到圆圈内全部数的总和是55，所以肯定是一边五个的和是28，一边是27因为数字都不一样，所以和28肯定是相间排列，和27也是相问排列，也就是说数组每隔4个差值为l，这样从1填起，容易排出适当的填图.8.1998名运动员的号码依次为1至1998的自然数现在要从中选出若干名运动员参加仪仗队，使得剩下的运动员中没有一个人的号码等于另外两人的号码的乘积那么，选为仪仗队的运动员最少有多少人?【分析与解】 我们很自然的想到把用得比较多的乘数去掉，因为它们参与的乘式比较多，把它们去掉有助于使剩下的构不成乘式，比较小的数肯定是用得最多的，因为它们的倍数最多，所以考虑先把它们去掉，但关键是除到何处?考虑到44
6、的平方为1936，所以去到44就够了，因为如果剩下的构成了乘式，那么乘式中最小的数一定小于等于44，所以可以保证剩下的构不成乘式因为对结果没有影响，所以可以将1保留，于是去掉2，3，4，44这43个数但是，是不是去掉43个数为最小的方法呢?构造297，396，495，4445，发现这43组数全不相同而且结果都比1998小，所以要去掉这些乘式就至少要去掉43个数，所以43位最小值，即为所求.10.在1019方格表的每个方格内，写上0或1，然后算出每行及每列的各数之和问最多能得到多少个不同的和数?【分析与解】 首先每列的和最少为0，最多是10，每行的和最少是0，最多是19，所以不同的和最多也就是0
7、，1，2，3，4，18，19这20个下面我们说明如果0出现，那么必然有另外一个数字不能出现如果0出现在行的和中，说明有1行全是0，意味着列的和中至多出现0到9，加上行的和至多出现10个数字，所以少了一种可能 如果0出现在列的和中，说明在行的和中19不可能出现，所以0出现就意味着另一个数字不能出现，所以至多是19，下面给出一种排出方法.12在10001000的方格表中任意选取n个方格染为红色，都存在3个红色方格，它们的中心构成一个直角三角形的顶点求n的最小值 【分析与解】 首先确定1998不行反例如下：其次1999可能是可以的，因为首先从行看，1999个红点分布在1000行中，肯定有一些行含有2
8、个或者以上的红点，因为含有0或1个红点的行最多999个，所以其他行含有红点肯定大于等于1999-999=1000，如果是大于1000，那么根据抽屉原理，肯定有两个这样红点在一列，那么就会出现红色三角形；如果是等于1000而没有这样的2个红点在一列，说明有999行只含有1个红点，而剩下的一行全是红点，那也肯定已经出现直角三角形了，所以n的最小值为199914在图35-2中有16个黑点，它们排成了一个44的方阵用线段连接其中4点，就可以画出各种不同的正方形现在要去掉某些点，使得其中任意4点都不能连成正方形，那么最少要去掉多少个点?【分析与解】 至少要除去6个点，如下所示为几种方法： Page 1 of 3
