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1、 毕业论文（设计） 对角化矩阵的应用学生姓名 学 院 专 业 班 级 学 号 指导教师 2015年 4 月 25 日毕业论文（设计）承诺书本人郑重承诺：1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的.2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的.3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负.学生（签名）： 2015 年4月25日对角化矩阵的应用摘 要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法
2、来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值.【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换Application of diagonalization matrixAbstractMatrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions,
3、 diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that ma
4、trix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value.Key words The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation 目 录引 言11矩阵对角化1 1.1矩阵对角化的几个条件1 1.2对角化矩阵的性质3
5、1.3 矩阵对角化的方法52对角化矩阵的应用5 2.1求方阵的高次幂5 2.2反求矩阵6 2.3判断矩阵是否相似7 2.4求特殊矩阵的特征值7 2.5在向量空间中应用7 2.6在线性变换中应用7 2.7求数列通项公式与极限8 2.8求行列式的值11 2.9对角化矩阵在其他方面的应用12参考文献14致 谢15引 言现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对
6、角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.1矩阵对角化 我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是
7、有条件限制的.1.1矩阵对角化的几个条件引理 设,且,则存在可逆矩阵,使可同时对角化. 引理 如果的个对角元互不相同,矩阵,那么当且仅当本身就是对角阵.因为任何一个幂等矩阵一定相似于一个对角矩阵,所以任何一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即,其中是矩阵的特征值,矩阵为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢？有如下结论：定理 若是个数,是个幂矩阵,并且他们两两可替换,则矩阵可对角化.证明 若是个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵,使得,可同时对角化.,由知同样是对角矩阵,即矩阵为对角化的矩阵.定理 如果,是它两个不相同的特征值,那么矩阵可对角化一定有幂等矩阵,满足.
8、证明 必要性：如果是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵,满足是一个对角阵.,并且相似于,若为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵满足.充分性：若存在使得,因为是幂矩阵,所以一定会有一个,满足,因此，,即矩阵为可对角化的.定理 设矩阵存在个不同的特征值,则对于矩阵,当且仅当矩阵同时可以对角化.证明 必要性 若矩阵存在个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵为对角化的矩阵.设,其中,则,即与是可以进行交换的,因此得知是对角矩阵,且矩阵也是为对角化的矩阵.充分性 如果矩阵可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵,使得,(其中为对阵),因此我们可以通过上述的一系列条件，来求出的特征值，且这是两
9、个相互不同的数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件：如果这个条件成立，那么就认为矩阵可对角化,否则就认为矩阵不能可对角化,其中.1.2对角化矩阵的性质定理 设为数域上的一个阶的矩阵,且它为可对角化的，是的相互不同的特征根,则一定会有阶的满足 (1)； (2)是单位矩阵； (3)； (4),其中.证明 （1）如果可对角化,那么在数域上一定会存在一个可逆矩阵,并且它的阶数为阶，满足,其中的重数为,由于矩阵,将它记为,因此，,将其记为,其中,所以.(2)如果每个为对角形的幂矩阵,那么,故.(3)如果,那么,故.(4)当时,为零矩阵,故.例1 在数域上，若已知的三个特征根分别是,则一定会有一个,满足
10、,其中,将矩阵,记,则其中,于是,并且满足： (1)； (2)； (3)； (4).可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的.1.3 矩阵对角化的方法1.3.1 运用矩阵初等变换的方法在数域上,一个维空间,研究和探讨它能否可以找到一组基，并且在此基的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时, 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.当发现矩阵不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后，化简出矩阵,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵,做如下的初等变换,则可以将矩阵化简为对角形矩阵,并
11、且可以求得或由求的一系列特征值.1.3.2 求解齐次方程组的方法设矩阵是实对称矩阵,则求证交矩阵使得的问题,一般的解法为： (1)求其特征值； (2)求其对应的特征向量； (3)写出矩阵及. 从而可以求出正交矩阵,可以避免了商的繁琐运算. 定理 设是实对称矩阵,则有,对应于,记由生成的一个空间,且由生成的空间.2对角化矩阵的应用2.1求方阵的高次幂例2 设在数域上，有一个二维的线性空间,是这个线性空间的一组基,那么线性变换在这组基的作用下的矩阵,试通过上述给出的条件计算出矩阵.解 通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换在线性空间的另一组基作用下的矩阵,令,则,易知,再运用上面得出的几个关系
12、,即.2.2反求矩阵例3 设有一个实对称矩阵，且它的阶数为阶，已知,对应于,求解解 根据矩阵是阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵可以对角化的结论,即得出矩阵是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且对应于,因为它和正交,即,所以可以求出,它们分别对应.取,则,于是.2.3判断矩阵是否相似例4 请判断下述三个矩阵是否会相似.解 我们可以很容易的得出三个矩阵的特征值分别都是(二重),其中矩阵已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵是否都可以对角化.通过,可以推出,因为,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵与矩阵不相似的结论.通过,得出,通过，,得出,通
13、过上述所推出的结论，我们可知矩阵有三个线性无关的特征向量,即矩阵与矩阵这两个矩阵相似.2.4求特殊矩阵的特征值例 设有一个实对称矩阵，并且它的阶数为阶，满足,求出的全部特征值 解 假设为矩阵的一个特征值,而我们令为矩阵的特征向量,它对应于特征值，因为,所以,又因为,所以,即,由此我们可以推出,根据矩阵是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵一定能够进行对角化,即,与,所以的秩数就是的个数,以及有个和个的特征值.2.5在向量空间中应用例在维的空间中,有一个复矩阵，并且它的阶数为阶，还有一个复数,令,则矩阵相似于对角阵,并且.证明 因为对于任意一个,则有和,所以.又因为发现矩阵相似于对角阵,所以我们可以推出与两个的解空间是完全相同的，即2.6在线性变换中应用 例 设是数域上的一个全体,且它是一个次数小于的多项式与零多项式，则请通过所学的进一步判断在的任一组基下，矩阵通过微分变换能否变为对角形矩阵证明 如果取,那么矩阵可以表示为,所以有. 如果在某一组基的作用下，微分变换的矩阵为对角矩阵,由已知的矩阵可推出矩阵可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵能够使得,所以.
