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1、线性代数课后题详解第一章 行列式1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油（1）； （2）（3）； （4）.解 注意看过程解答（1）=（2）（3）（4）2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；（5）1 3 2 4 ；（6）1 3 2.解（1）逆序数为0（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3（5）逆序数为：3 2 1个5 2，5 4 2个7 2，7 4，7 6 3个
2、2， 4， 6， 个（6）逆序数为3 2 1个5 2，5 4 2个 2， 4， 6， 个4 2 1个6 2，6 4 2个 2， 4， 6， 个3.写出四阶行列式中含有因子的项.解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数由于已固定，只能形如，即1324或1342.对应的分别为或和为所求.4.计算下列各行列式：多练习方能成大财（1）； （2）；（3）； （4）解(1)=0(2) =0(3)=(4) = =5.证明:(1)=;(2)=;(3);(4);(5).证明(1)(2) (3) (4) =(5) 用数学归纳法证明假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立.6.设阶行列式,
3、把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得， ，证明.证明同理可证 7.计算下列各行列式（）：(1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0；(2);(3) ;提示：利用范德蒙德行列式的结果(4) ;(5);(6),.解(1) ()(2)将第一行乘分别加到其余各行，得再将各列都加到第一列上，得(3)从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行，经次行交换，得此行列式为范德蒙德行列式(4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5)=(6)8.用克莱姆法则解下列方程组：解(1) (2)()9.有非零解？解 ，齐次线性方程组有非零解，则即 得 不难验证，当该齐次线性方程组
4、确有非零解.10.有非零解？解齐次线性方程组有非零解，则得 不难验证，当时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章矩阵及其运算1已知线性变换：求从变量到变量的线性变换解由已知：故 2已知两个线性变换 求从到的线性变换解 由已知所以有 3设, 求解4计算下列乘积：(1); (2); (3);(4);(5);(6).解(1)(2)(3)(4)(5)(6) 5设, ，问：(1)吗?(2)吗?(3)吗?解(1), 则 (2) 但故(3) 而 故 6举反列说明下列命题是错误的:（）若,则;（）若,则或;（）若,且,则.解 (1)取 ,但(2)取 ,但且(3)取 且 但7设,求.解 利用数学归纳法证明: 当时
5、,显然成立,假设时成立,则时由数学归纳法原理知:8设,求.解 首先观察 由此推测 用数学归纳法证明: 当时,显然成立. 假设时成立，则时，由数学归纳法原理知: 9设为阶矩阵，且为对称矩阵，证明也是对称矩阵.证明已知：则 从而 也是对称矩阵.10设都是阶对称矩阵，证明是对称矩阵的充分必要条件是.证明由已知： 充分性：即是对称矩阵.必要性：.11求下列矩阵的逆矩阵：(1)； (2)； (3); (4);(5); (6)解(1) 故 (2) 故存在从而 (3) , 故存在 而 故 (4) 故(5) 故存在而 从而(6)由对角矩阵的性质知 12解下列矩阵方程：(1); (2);(3);(4).解(1)
6、(2) (3)(4)13利用逆矩阵解下列线性方程组:(1) (2) 解(1)方程组可表示为 故 从而有 (2) 方程组可表示为 故 故有 14设(为正整数),证明.证明一方面， 另一方面，由有故两端同时右乘就有15设方阵满足,证明及都可逆,并求及.证明由得两端同时取行列式: 即,故所以可逆,而 故也可逆.由又由16设,求.解由可得故17设,其中,求.解故所以 而 故18设次多项式,记称为方阵的次多项式.(1)设,证明: ,;(2)设,证明: ,.证明(1) i)利用数学归纳法.当时 命题成立,假设时成立,则时 故命题成立.ii)左边=右边(2) i)利用数学归纳法.当时成立假设时成立,则时成立
7、,故命题成立,即 ii) 证明右边=左边19设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：(1)若,则;(2) .证明(1)用反证法证明假设则有由此得这与矛盾，故当时有(2)由于, 则取行列式得到: 若 则若由(1)知此时命题也成立故有20取,验证检验: 而故21设,求及解，令 则故 22设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求解 将分块为其中 为矩阵, 为矩阵为矩阵, 为矩阵则由此得到故 第三章矩阵的初等变换与线性方程组1把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1); (2);(3); (4).解(1) (2) (3) (4) 2在秩是的矩阵中,有没有等于0的阶子式?有没有等于0的阶子式?解在秩是的矩阵中,可能存在等于0的阶子式,也
8、可能存在等于0的阶子式.例如，同时存在等于0的3阶子式和2阶子式.3从矩阵中划去一行得到矩阵,问的秩的关系怎样?解 设，且的某个阶子式.矩阵是由矩阵划去一行得到的，所以在中能找到与相同的阶子式，由于，故而.4求作一个秩是4的方阵,它的两个行向量是,解设为五维向量,且,则所求方阵可为秩为4,不妨设取故满足条件的一个方阵为5求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式：(1); (2)；(3).解(1)二阶子式(2) .二阶子式(3) 秩为3三阶子式6求解下列齐次线性方程组:(1) (2)(3) (4)解(1)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(2)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(3)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为(4)对系数矩阵实施行变换:即得故方程组的解为7求解下列非齐次线性方程组:(1) (2) (3) (4) 解(1)对系数的增广矩阵施行行变换,有而,故方程组无解(2)对系数的增广矩阵施行行变换:即得亦即(3)对系数的增广矩阵施行行变换:即得即(4) 对系数的增广矩阵施行行变换:即得即8取何值时,非齐次线性方程组(1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解?解(1),即时方程组有唯一解.(2)由得时,方程组无解.(3),由,得时,方程组有无穷多个解.9非齐次线
