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1、第八讲平面几何技巧（一）名人名言毕达哥拉斯（二）令毕达格拉斯学派引以为傲的应该是“毕达哥拉斯定理”的发现，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方我国称为“勾股定理”毕达哥拉斯定理可谓数学史上的第一块里程碑，它揭示了三角形边长的数量和形状的关系，后来成为解析几何的“距离公式”，并在高维空间的数学中有着重要作用，因此被人们誉为数学大厦的“拱心石”毕达哥拉斯定理已有多年的历史，它的证明方法多达余种，这中间有著名画家达芬奇的杰作，也有一位盲童的贡献，甚至爱因斯坦也和毕氏定理有过邂逅有一次雅可比叔叔向爱因斯坦讲了毕氏定理得内容，而未讲任何证明他的侄儿理解所涉及的关系，并感到基于一种理由可推导出来这
2、个小孩在三个星期中用其全部的思维力量去证明这一定理他专注到三角形的相似性（从直角三角形的一个顶点向斜边作垂线）得到了一个证明为此他久久地激动不已！这虽然仅涉及一个非常古老的著名定理，他却经历了发现者的首次快乐据说毕氏学派为了纪念这一发现，要杀掉一百头牛来庆贺但是，他们却没有想到，由毕达哥拉斯定理引发的关于无理数的发现，却使毕达哥拉斯学派陷入困境根据“毕达哥拉斯定理”，单位正方形对角线的长应为，那么是什么性质的数呢？毕达哥拉斯派认为“万物皆数”的“数”是整数或可以表示整数的比的数，即有理数但是，这一信条在上出现了例外因为，如果可以表示为两个整数的比，即有：，是两个互素的整数，由此得：，即是偶数；
3、那么是偶数，据此是偶数，则也是偶数，这与，互素矛盾！这个矛盾是对毕达哥拉斯学派的严峻挑战据说为了严守秘密，在一次乘船出游时，发现这个“秘密”的希帕索斯被扔进了大海谁也不会想到，中学课本所说的“无理数”的背后会有这样一个悲惨的故事！不过，需要指出，“无理数”并不是“没有道理的数”，而是“不可比的数”知识点拨三点共线是平面几何中典型的问题，证明点共线的思路：1从角考虑：证得以中间一点为顶点，两侧两点所在射线所成的角为平角；证得以中间一点为顶点且作一直线，其余两点所在射线构成对顶角；证得以一点为顶点且作一射线，其余两点所在射线与前一条射线所成的两个角相等2从线考虑：证第三点在过另两点的直线上；证得三
4、点两两连线与同一直线垂直或平行；证得三点两两连结的线段有和或差关系3从形考虑：证得三点所成的三角形面积为零；证得以一点为位似中心，其余两点为位似变换的一对对应点4从有关结论考虑：注意到梅涅劳斯等5从方法上考虑：可考虑反证法、同一法、面积法等例题精讲【例1】 如图，在直角三角形中，为斜边上的高，以为圆心，为半径作圆，过作圆的任一割线交圆于，交于（在，之间）；又作，在圆周上，与在两侧求证：，三点共线【例2】 如图，在中，点在的外接圆的弧（不含点）内，连接并延长至点，使得，连接交圆于点，连接，记的外心为求证：三点共线【例3】 是垂心，是任一点，由向，引垂线，与，的延长线相交于，证明：，三点共线【例4】 设，是平面上四点，如果对平面上任何点都满足不等式：，那么，四点共线【例5】 如图，设四边形外切于圆，对角线和中点分别为，试证：，三点共线【例6】 如图，设，是正六边形的两条对角线，点，分别内分，使，求证：，共线【例7】 已知是以为直径的半圆上的两个点，弦交于点，分别是延长线上的点，且满足，若的垂心分别为，证明的交点在圆上；三点共线大显身手1 锐角中，分别是其外心、垂心，求证：的外心在直线上2 如图，作的外接圆，连接弧中点与和中点的弦，分别与边交于，与边交于证明：，三角形内心共线| 高一数学第8讲联赛班学生版 | 37
