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1、专题对点练11三角变换与解三角形专题对点练第13页1.(20xx全国,理17)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.解 (1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.2.已知a,b,c分别为锐角三角形ABC的内角A,B,C所
2、对的边,且a=2csin A.(1)求角C;(2)若c=,且ABC的面积为,求a+b的值.解 (1)由a=2csin A及正弦定理得sin A=2sin Csin A.sin A0,sin C=.ABC是锐角三角形,C=.(2)C=,ABC的面积为,absin ,即ab=6.c=,由余弦定理得a2+b2-2abcos =7,即(a+b)2=3ab+7.将代入得(a+b)2=25,故a+b=5.3.(20xx河南商丘二模,理17)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b(1+cos C)=c(2-cos B).(1)求证:a,c,b成等差数列;(2)若C=,ABC的面积为4,求c.
3、(1)证明 b(1+cos C)=c(2-cos B),由正弦定理可得sin B+sin Bcos C=2sin C-sin Ccos B,可得sin Bcos C+sin Ccos B+sin B=2sin C,sin A+sin B=2sin C,a+b=2c,即a,c,b成等差数列.(2)解 C=,ABC的面积为4absin C=ab,ab=16,由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,a+b=2c,可得c2=4c2-316,解得c=4.4.(20xx河南六市联考二模,理17)已知在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin
4、 B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=2,b=2,求ABC的面积.解 (1)在ABC中,由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0,即sin B(sin A+cos A)=0,又角B为三角形内角,sin B0,所以sin A+cos A=0,即sin=0,又因为A(0,),所以A=.(2)在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,则20=4+c2-4c,即c2+2c-16=0,解得c=-4(舍)或c=2,又S=bcsin A,所以S=22=2.5.(20xx四川成都二诊,理17)如图,在梯形ABCD中,已知A=,B=,AB=6,在AB边上取点
5、E,使得BE=1,连接EC,ED.若CED=,EC=.(1)求sinBCE的值;(2)求CD的长.解 (1)在CBE中,由正弦定理得,sinBCE=.(2)在CBE中,由余弦定理得CE2=BE2+CB2-2BECBcos,即7=1+CB2+CB,解得CB=2.由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BECEcosBEC,cosBEC=,sinBEC=,sinAED=sin,cosAED=,在RtADE中,AE=5,=cosAED=,DE=2,在CED中,由余弦定理得CD2=CE2+DE2-2CEDEcos=49,CD=7.导学号168041836.(20xx江西宜春二模,理17)如图,某生态园将
6、一块三角形地ABC的一角APQ开辟为水果园,已知角A为,AB,AC的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何可使得三角形地块APQ面积最大?(2)已知竹篱笆长为50米,AP段围墙高1米,AQ段围墙高2米,造价均为每平方米100元,若APAQ,求围墙总造价的取值范围.解 设AP=x,则AQ=200-x,SAPQ=x(200-x)sin=2 500,当且仅当x=200-x时,取等号,即AP=AQ=100时,SAPQ有最大值为2 500平方米.(2)由正弦定理,得AP=100sinAQP,AQ=100sinAPQ.故围墙总造价y=
7、100(AP+2AQ)=10 000(sinAQP+2sinAPQ)=10 000cosAQP.因为APAQ,所以AQP,所以cosAQP.所以围墙总造价(单位:元)的取值范围为(5 000,15 000.导学号168041847.已知向量a=,b=(-sin x,sin x),f(x)=ab.(1)求函数f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f=1,a=2,求ABC面积的最大值.解 (1)易得a=(-sin x,cos x),则f(x)=ab=sin 2x+sin xcos x=cos 2x+sin 2x=sin,f(x)的
8、最小正周期T=,当2x-+2k(kZ)时,即x=+k(kZ),f(x)取最大值是.(2)f=sin=1,sin,A=.a2=b2+c2-2bccos A,12=b2+c2-bc,b2+c2=12+bc2bc,bc12.(当且仅当b=c时等号成立)S=bcsin A=bc3.当ABC为等边三角形时面积最大,最大值是3.导学号168041858.(20xx陕西咸阳二模,理17)设函数f(x)=sin xcos x-sin2(xR).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f=0,c=2,求ABC面积的最大值.解 (1)函数f(x)=sin xcos x-sin2(xR),化简可得f(x)=sin 2x-=sin 2x-.令2k-2x2k+(kZ),则k-xk+(kZ),即f(x)的递增区间为(kZ),令2k+2x2k+(kZ),则k+xk+(kZ).可得f(x)的递减区间为(kZ).(2)由f=0,得sin C=.ABC是锐角三角形,C=.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,将c=2,C=代入得4=a2+b2-ab.由基本不等式得a2+b2=4+ab2ab,即ab4(2+),SABC=absin C4(2+)=2+,即ABC面积的最大值为2+.
