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1、线代习题一， 填空题（每题3分，共30分）1，在五阶行列式中，标志为正的项共有项。2，行列式D中，元素的余子式=8，那么的代数余子式=。3，已经清楚阶矩阵、跟满意，其中为阶单位矩阵，那么。4，A是n阶方阵，那么，=_。5，是三阶矩阵（其中代表A的第列），那么。6，三阶方阵，其中，那么与A等价的标准形矩阵是。7，那么。8，向量组线性（填相关或有关）。9，已经清楚单位矩阵的列向量组是的一个基，那么在这组基下的坐标是。10，是一个三阶正交矩阵，那么。二， 单项选择题（每题2分，共10分）1，非齐次线性方程组的系数行列式为0，那么此方程组（）A,有唯一解B,无解C,有无穷解D,B跟C都有可以2，A,B
2、,C是三个n阶方阵，那么以上等式不用定成破的是（）A,B,C,D,3，V是一个3维向量空间，那么（）A,V中元素的维数肯定大年夜于等于3B,V中元素的维数肯定等于3C,V中元素的维数肯定小于等于3D,A,B,C都错4，都由n维向量形成的两个向量组A跟B的向量个数一样，且秩根本上4，那么（）A，A跟B肯定等价B，分不以A跟B的向量为列向量形成矩阵，那么这两个矩阵肯定等价C，A跟B的向量个数肯定大年夜于4D，n肯定大年夜于45，A是一个弗成逆的四阶矩阵，已经清楚它的三个特色值分不是1，2，3，那么第四个特色值是（）A，0B，1C，2D，3三， 打算题（每题9分，共36分）1， 打算行列式.2， A
3、=，B=.求（1）ABT；（2）BAT.3， 设矩阵A=，求矩阵B使其满意矩阵方程AB=A+2B.4， 设1，2，3跟1，2，3根本上R3的基，且1=41，2=2，3=33，=6123.求（1）基1，2，3到基1，2，3的过渡矩阵；（2）在基1，2，3下的坐标。四， 综合题（每题9分，共18分）1，设矩阵A=.求：（1）A的列向量组的一个最大年夜线性有关组；（2）把列向量组中的其余向量用谁人最大年夜线性有关组线性表示。2，设矩阵A=的全部特色值为1，1跟-8，求正交矩阵T跟对角矩阵D，使T-1AT=D.五， 证明题（6分）已经清楚是矩阵的一个特色值，证明：假设，那么也是矩阵BA的一个特色值。六
4、， 填空题（每题3分，共30分）1，60；2，-8；3，；4，；5，0；6，；7，3；8,相关；9，；10，9七， 单项选择题（每题2分，共10分）1、D；2、C；3、A；4、B；5、A；八， 打算题（每题9分，共36分）1，解：=（3分）（6分）（9分）2，解：(1)ABT=.（5分）(2)BAT=(ABT)T=（9分）3，解：AB=A+2B即（A-2E）B=A（2分）而（A-2E）-1=（7分）因而B=(A-2E)-1A=（9分）4，解：（1）记B=（1，2，3）,A=（1，2，3）,K=那么B到A的过渡矩阵P=B-1A=B-1BK=K（4分）（2）在A下的坐标是：P-1（6，-1，-1）
5、T=（6，-1，-1）T=（3/2，-1，-1/3）T（9分）九， 综合题（每题9分，共18分）1解：（1）A选A的第1、2、4列作为A的列向量组的一个最大年夜线性有关组（5分）（2）第3、5列线性表示式为：（9分）2，解：A的属于特色值=1的2个线性有关的特色向量为1=（2，-1，0）T，2=（2，0，1）T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特色向量为3=，经单位化得3=（8分）所求正交矩阵为T=.对角矩阵D=（9分）十， 证明题（6分）证：设的对应于的一个特色向量为p，那么有，由于，因而，那么（3分）用B左乘，掉掉落即是BA的一个特色值，且对应的一个特色向量是Bp。（6分）十一，
6、填空题（每题3分，共30分）1，假设，那么。2，在五阶行列式中的标志为(填正或负)。3，已经清楚，那么=。4，A是3阶方阵，那么，=。5，是三阶矩阵（其中代表A的第列），且，那么。6，三阶方阵A的秩为2，那么与A等价的标准形矩阵是。7，已经清楚向量组A包含零向量，那么A线性（填相关或有关）。8，已经清楚的列向量组是的一个基，那么在这组基下的坐标是。9，向量=(1,-2,2)的长度。10，假设Q为正交矩阵，那么。十二， 单项选择题（每题2分，共10分）1，齐次线性方程组的系数行列式为0，那么此方程组（）A,仅有零解；B,无零解；C,有无穷个非零解；D只需一个非零解。2，A是n阶方阵，那么（）A,
7、与A的行列式相当；B,与A的伴随矩阵一样；C,假设可逆，那么与A的逆矩阵一样；D,与A相当。3，四元齐次线性方程组系数矩阵的秩为2，那么其根底解系的向量个数为（）A,1；B,2；C,3；D,4。4，假设向量组A线性有关，那么（）A，A不最大年夜线性有关组B，A有一个最大年夜线性有关组C，A有多于1个的有限个最大年夜线性有关组D，A有无穷个最大年夜线性有关组5，那么A的特色值为（）A，1，2，3B，-3，3，3C，3，-3，-3D，3，2，2十三， 打算题（每题9分，共36分）5， 打算行列式.6， A=，B=.求（1）ABT；（2）BAT.7， 揣摸矩阵是否可逆，假设可逆，用初等变卦求其逆矩阵
8、。8， 求向量组的一个极大年夜有关组，并把其余向量用此极大年夜有关组线性表示。十四， 综合题（每题9分，共18分）1， 设四元非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵A的秩为3，已经清楚它的三个解向量为，其中，求该方程组的通解。2，求可逆矩阵P，使得为对角矩阵。十五， 证明题（6分）设方阵A满意A3=0，证明E-A可逆，且(E-A)-1=E+A+A2.十六， 填空题（每题3分，共30分）1，6；2，正；3，E；4，54；5，12；6，；7，相关；8,；9，3；10，1十七， 单项选择题（每题2分，共10分）1、C；2、A；3、B；4、B；5、C；十八， 打算题（每题9分，共36分）1，解：.（5分）
9、.（9分）2，解：(1)ABT=.（5分）(2)BAT=(ABT)T=（9分）3，解：因而A可逆（3分）A=（9分）4，解：因而其极大年夜有关组之一为（7分）（9分）十九， 综合题（每题9分，共18分）1解：Ax=b的根底解系含4-3=1个向量，（2分），（7分）因而通解为，c为任意常数（9分）2，解：，A的特色值（3分）对于,（E-A）x=0即的根底解系为，(-E-A)x=0，的根底解系为,（8分）由于线性有关，因而（9分）二十， 证明题（6分）证：由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，因而E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.（6分）二十一， 填空题（每题3分，共30分）1，
10、 在五阶行列式中，项a13a25a31a44a52的标志为_。(填正或负)。2， 行列式=。3，B为3阶矩阵，且满意，那么=_。4，A是方阵，那么，=_。5，该行列式中x的系数_。6，向量，那么满意的=_。7，向量组线性_。8，是线性方程组的解，那么肯定是方程_的解。9，已经清楚齐次线性方程组只需0解，那么应满意的条件_。10，假设向量组与向量组可以互相线性表示，且向量组线性相关，都线性有关，那么r与s应满意关系式_。二十二， 单项选择题（每题3分，共15分）1,1、假设，那么的值为（）A,12；B,-12；C,18；D,0。2、矩阵A在（）时可以修改秩。A,转置；B,初等变卦；C,乘以独特矩
11、阵；D,乘以非独特矩阵。3、A,B均为可逆矩阵，那么以下式子成破的是（）A,；B,；C,；D,。4，向量组的秩为r，那么下面不精确的选项是（）A，中至少有一个r个向量的局部组线性有关B，中任何r个向量的线性有关局部组与可互相线性表示C，中r个向量的局部组皆线性有关D，中r+1个向量的局部组皆线性相关5，那么A的特色值为（）A，1，2，3B，-3，3，3C，3，-3，-3D，3，2，2二十三， 打算题（每题8分，共32分）9， 时，打算行列式；10， 揣摸矩阵是否可逆，假设可逆，用初等变卦求其逆矩阵；11， 揣摸是否为向量组,的线性组合，假设是，写出表达式。4，求可逆矩阵P，使得为对角矩阵。二十
12、四， 综合题（每题9分，共18分）1,设，(1)试求A的特色值；(2)使用(1)的结果，求矩阵E+A-1+2A的特色值，其中E为三阶单位矩阵。2，设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已经清楚是它的3个解向量，且，求方程组的通解。二十五， 证明题（5分）假设向量组线性有关，证明任一向量必可由线性表示.二十六， 填空题（每题3分，共30分）1，正；2，-1；3，0；4，4；5，1；6，(-12,6,-6)；7，相关；8,Ax=0；9，；10，二十七， 单项选择题（每题3分，共15分）1、A；2、D；3、C；4，C5,C二十八， 打算题（每题8分，共32分）1，解：=（4分）=（7分）=（8分）2，解：因而A可逆（3分）A=（7分）(8分)3，解：(6分)(8分)4，解：，A的特色值(3分)对于,（E-A）x=0即的根底解系为，(5分)，(-E-A)x=0，的根底解系为,由于线性有关，(7分)因而(8分
