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1、1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换一、教材分析本节知识选自人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书B版选修4-4“坐标系与参数方程”1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换。平面几何图形的伸缩变换是常见的几何变换。将图形看成是点的运动轨迹，并在平面直角坐标系中用方程表示它，那么图形的伸缩变换就可以归结为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换，让学生从一个新的角度体会坐标法思想。二、学情分析学生在函数（特别是三角函数）的学习中，对函数图像的平移变换、伸缩变换有了一定的了解；在平面几何的学习中也接触过图形变换。但两者之间的联系并没有建立起来，特别是他们还不知道用代数方法表示图形伸缩变换的方法。本
2、节课是在学生原有知识的基础上进行拓展，通过本节课的学习学生感受到应用坐标系解决几何问题带来的方便,并在三角函数图形变换的基础上理解坐标系的伸缩变换，对学生的知识进行了一定的拓展，并对数学的系统知识有了进一步的理解。三、教学目标知识与技能：通过实例概括坐标伸缩变换公式，了解利用坐标伸缩变换公式研究平面图形伸缩变化的情况。过程与方法：让学生经历从具体到一般，从直观到抽象的思维过程，培养学生严谨的思维品质。引导学生探究得出平面直角坐标系中的伸缩变换，进一步体会坐标变换的作用。情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养学生的交流能力及自主探究的创新意识。来教学重点：理解平面直角坐标系中
3、的坐标变换、伸缩变换。教学难点：会用坐标变换、伸缩变换解决实际问题。授课类型：新授课教学措施与方法：启发、诱导发现教学。四、教法这节课我将采用启发、探究式教学模式，实现“以学生为主体、老师为主导”的新课改精神，逐步引导学生去探索、发现、总结规律。五、学法学生在学习函数（特别是三角函数）后，对函数图像的伸缩变换有了一定的理解。学生在已有认知基础上，可以用坐标伸缩变换研究平面图形的伸缩变换，使学生进一步理解了坐标法思想和代入法思想。六、教学过程引例：生活中将一个弹性球做均匀方向压缩有身边变化？以几何体的正视图由圆变成直观感觉到的椭圆，而究竟变性后是否是椭圆的证明引入新课。复习引入：在三角函数图象的
4、学习中，我们研究过下面一些问题：（1） 把正弦曲线y=sinx上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到的曲线方程为？（2） 把正弦曲线y=sinx上所有点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变，得到的曲线方程为？（3）把正弦曲线y=sinx上所有点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标变为原来的3倍，得到的曲线方程为？【设计意图】 从学生熟悉的正弦曲线的伸缩变换入手，启发学生由关注的横向伸缩变换转换为关注图形上点的坐标的横向伸缩变换，并思考如何利用坐标变换来表示图形变换。【师生活动】教师提出问题后，同一坐标系中作出两个函数的图像，启发学生将图像的横向伸缩变换用语言表示出来。思考：“保持纵坐标不变横
5、坐标缩为原来的一半”的实质是什么？【设计意图】在两个图像上找出一对对应点，移动点的位置，引导学生观察、思考两个图像上的对应点之间的坐标关系。（二）新课讲解通过刚才三个例题中的坐标变换公式，由特殊到一般，概括出平面伸缩变换的坐标表达式。平面直角坐标系中的任意一点P（x，y），经过上述变换后变为点Q（X，Y）,那么 【设计意图】体会从特殊到一般的归纳思想，给出平面直角坐标系中的坐标伸缩变换的定义。（三）应用举例例1：引例圆方程设为在伸缩变换下变成曲线进一步验证了圆压缩后变成椭圆。变式训练：设平面上伸缩变化的坐标表达式为：求圆 在此伸缩变换下的方程。由学生概括题型及解题过程。题型归纳：已知伸缩变化坐
6、标表达式和变化前的曲线方程，求变化后的曲线方程例2：把圆x2+y2=4均匀压缩成为椭圆，写出坐标变换公式。变式训练：求满足下列图形的伸缩变换公式：将曲4x2+9y2=36变为曲线由学生概括题型及解题过程。题型归纳：已知伸缩变化前后的曲线方程，求伸缩变化坐标表达式例3：伸缩变换的坐标表达式为 ，曲线C在此变换下变为椭圆 ，求曲线C的方程。变式训练：将曲线C经过伸缩变换 后对应图形的方程为 ，则曲线C的方程为_由学生概括题型及解题过程。题型归纳：已知伸缩变化坐标表达式和变化后的曲线方程，求变化前的曲线方程。【设计意图】给学生思考与发现的机会，体会“获取信息发现结论证明结论”的数学思维过程。（四）课堂小结：平面图形的伸缩变换坐标的伸缩变换 -用代数方法研究几何变换 【设计意图】加深学生对坐标法思想的认识。】（五） 随堂测试：限时训练，检测本堂课的效果。（六）补充习题：1、抛物线经过伸缩变换后得到 2、把圆变成椭圆的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线变成直线的伸缩变换为 4、把曲线的图象经过伸缩变换得到的图象所对应的方程为 5、在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为，则曲线C的方程
