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1、食饵捕食者数学模型 摘要：在自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。本文根据它们之间的特殊关系与这种潜在的规律，建立了具有自滞作用的食饵捕食者模型。我们利用matlab软件求微分方程的数值解，通过对数值结果和图形的观察猜测解析构造，然后研究平衡点及相轨线的形状，验证猜测的正确性关键词：自滞作用 数值解matlab 平衡点 相轨线分析 稳定性一、 问题重述自然界不同种群之间存在一种既有依存，又相互制约的生存方式。种群甲靠丰富的自然资源生存，种群乙靠
2、捕食甲为生，形成食饵捕食者系统。为了分析他们之间数量的变化关系，以及它们之间数量达到平衡的情况。解释平衡点稳定的实际意义，对模型进行相轨线分析来验证理论分析的正确性，并用matlab软件画出图形。 二，问题背景 一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降（食用鱼和鲨鱼同时捕捞），但是其中鲨鱼的比例却增加，这是为什么？Volterra建立的模型回答了这个问题 三，问题分析首先，在复杂的自然界中，存在着许多影响种群发展的因素。假如给食饵（食用鱼）和捕食者（鲨鱼）一个理想的环境，它们是呈J形增长的。现实情况中，由于受到环境的限制，种群增长一般符合阻滞增长的模型。我们利用软件matlab求出微分方程的数值
3、解，并通过对数值和图形观察做出猜测，然后分析相轨线，验证猜测的的正确性。最后对数学模型进行修改和确定。 四、基本假设1，假设它们是处于封闭的自然条件下，人类活动对其生存不产生影响2，假设食饵和捕食者在封闭的环境中可以正常生长，没有疾病等促使他们死亡3，假设食饵和捕食者在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施一直维持这以结构4，假设捕食者离开食饵无法生存5，食饵和捕食者不会因为捕食关系导致物种灭绝 五，符号说明X（t）：食饵（食用鱼）在时刻t的数量Y（t）：捕食者（鲨鱼）在时刻t的数量r1：食饵在独立生存时以指数规律增长，（相对增长率）r2：捕食者独立生存时以指数规律增长，（相对
4、增长率）N1：食饵的最大容量N2：捕食者的最大容量1：单位数量乙（相对于N2）提供的供养甲的食物量为单位甲（相对于N1）消耗的供养甲食物量1倍2：单位数量甲（相对于N1）提供的供养甲的食物量为单位乙（相对于N2）消耗的供养甲食物量2倍d：捕食者离开时独立存在的死亡率 六，模型建立食饵（甲）数量x（t），捕食者（乙）数量y（t） 甲独立生存的增长率r =rx乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比（t）=（r-ay）x=rx-axy （1）a捕食者掠取食饵的能力乙独立生存的死亡率d =-dy甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy （2）b食饵供养捕食者的能力方
5、程（1），（2）无解析6.1模型建立我们考虑自身的阻滞增长作用，建立以下模型1（t）=r1x1（1-1） (3)2(t)=r2x2(-1+2-) (4)6.2 模型求解利用数学软件matlab分别求解（3），（4）两个微分方程的数值解。记食饵和捕食者的初始数量为X（0）=x0 y（0）=y0求数值解（t），（t）及相轨线y（x），设r=1，d=0.5，a=0.1，b=0.02，x0=25，y0=2，用matlab软件编制程序如下：r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xdot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2);function xdot=shier(t,
6、x)ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,s,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:2),grid,可得数值解（t），（t）及相轨线y（x）数值解（t），（t）的图形相轨线y（x）的图形根据图形和数值结果可以猜测，x（t），y（t）是周期函数，相应的y（x）是封闭曲线，从数值解近似的定出周期为10.7，x的最大最小值分别为99.3和2.0，y的最大值最小值分别为28.4和2.0.并且用数值积分容易算出x（t），y（t）在一个周期的平均值为=25，=10。七、模型分析
7、、评价及改进7.1 平衡点及稳定性分析首先求得（3），（4）方程的两个平衡点为P（d|b，r|a），p（0，0） （5） 对于p，q0，p不稳定；对于p，p=0，q0，处于临界状态，不能用判断线性方程平衡点稳定性的准则研究非线性方程，所以用相轨线分析解决7.2 用相轨线分析的稳定性消去dt得取指数，c由初始条件确定 为了从理论上验证y（x）是封闭曲线，记 f（x） g（y）可以用软件画出它们的图形，将它们的极值点记为，极大值记为，则时，无相轨线，以下设相轨线f（x）g（y）=cx=,y=相轨线退化为p点，p中心C，设 令存在使f（x1）=f（x2）Q1(X1,y0),Q2(X2,y0)考察存在
8、Q3（x，y1）Q4（x，y2），x是内任意点，所以相轨线是封闭曲线。7.3，x（t）y（t）在一周期内的平均值相轨线是封闭曲线，所以x（t）y（t）是周期函数，周期为T，求x（t），y（t）在乙周期内的平均值，。（t）= -（d-bx）y=-dy+bxyx（t）=（+d）=（t）= -（d-bx）y=-dy+bxy =轨线中心:所以= =即x（t）y（t）的平均值正式相轨线中心p点的坐标。7.4、模型的缺点与改进1、多数食饵捕食者系统观察不到周期震荡，而是趋向某个平衡状态即存在稳定平衡点Volterra模型 改写：加logistic项有稳定平衡点 2、 相轨线是封闭曲线，结构不稳定，一旦离开
9、某一条闭轨线线，就进入另一条闭轨线，不恢复原状。3、自然界存在的周期性平衡生态系统是结构稳定的，即偏离周期轨道后，内部制约使系统恢复原状。相轨线趋向极限环，所以结构稳定 八、参考文献【1】、姜启源、谢金星、叶俊编数学模型第三版【2】http:/ xdot=shier(t,x)ts=0:0.1:15;x0=25,2;t,x=ode45(shier,ts,x0);t,s,plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t),pause,plot(x(:,1),x(:2),grid,function xdot=shier(t,x)r=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02;xd
10、ot=(r-a*x(2).*x(1);(-d+b*x(1).*x(2); ts=0:0.1:15ts = Columns 1 through 7 0 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 Columns 8 through 14 0.7000 0.8000 0.9000 1.0000 1.1000 1.2000 1.3000 Columns 15 through 21 1.4000 1.5000 1.6000 1.7000 1.8000 1.9000 2.0000 Columns 22 through 28 2.1000 2.2000 2.3000
11、 2.4000 2.5000 2.6000 2.7000 Columns 29 through 35 2.8000 2.9000 3.0000 3.1000 3.2000 3.3000 3.4000 Columns 36 through 42 3.5000 3.6000 3.7000 3.8000 3.9000 4.0000 4.1000 Columns 43 through 49 4.2000 4.3000 4.4000 4.5000 4.6000 4.7000 4.8000 Columns 50 through 56 4.9000 5.0000 5.1000 5.2000 5.3000 5
12、.4000 5.5000 Columns 57 through 63 5.6000 5.7000 5.8000 5.9000 6.0000 6.1000 6.2000 Columns 64 through 70 6.3000 6.4000 6.5000 6.6000 6.7000 6.8000 6.9000 Columns 71 through 77 7.0000 7.1000 7.2000 7.3000 7.4000 7.5000 7.6000 Columns 78 through 84 7.7000 7.8000 7.9000 8.0000 8.1000 8.2000 8.3000 Columns 85 through 91 8.4000 8.5000 8.6000 8.7000 8.8000 8.9000 9.0000
