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1、热点关注我的函数我冠名 江苏省启东中学 张杰众所周知,高中阶段学习的函数有基本初等函数(),即指数函数、对数函数和幂函数, 基本初等函数(),即三角函数,还有在初中阶段学习的一次函数(含正比例函数) 、反比例函数及二次函数, 这些函数都有确定的解析式和具体的性质,但在高考中, 为了考查学生综合分析问题和解决问题的能力,体现“在知识的交汇处命题”的原则,通常将上述函数组合在一起, 命制一些有关函数知识的创新试题进行考查,本文对此举例探讨:题型一:如果一个函数具有一定的特殊性质(如它的值域与定义域相同,或在某个确定的区间内单调,或关于某线(点)对称,或存在周期),或者满足某些约束条件时(如它有最值
2、,任意两函数值之间存在着某种关系),我们可将此函数冠名,定义一个新函数,再研究其性质或讨论参数. 典例1. (2011南京师大附中模拟题)当a,b,c都在f(x)的定义域内时,若f(a),f(b),f(c)是某个三角形的三边长,则称此函数f(x)为“三角形函数”. 已知函数是三角形函数,求实数的取值范围. 思路分析:根据“三角形函数”的定义可知,本题函数f(x)必须满足条件:当时,有,即任意两个函数值之和大于第三个函数值,这就与函数值域有关,因此不妨设,则构成三角形三边的充要条件是,从而,由此求实数的取值范围. 解法一:因,令,则,(1)若,则在上单调递增,且,从而满足,解之得;(2)若,则,
3、符合题意;(3) 若,则在上单调递减,且,从而满足,解之得;综上所述, 实数的取值范围是.解法二:记,则可化为方程,(1)若,则,此时符合题意;(2)若,则令得,此方程有两个非负实数根,从而若,则上述不等式组可化为,从而,于是有,得;,则上述不等式组可化为,从而,于是有,得;综上所述, 实数的取值范围是.误点警示: 从上述解题过程可知,若原函数的值域为,则满足;若值域为,则满足;若值域为,则满足.本题结论中,不能写成实数的取值范围是,事实上,当时,此时不能构成三角形.追根溯源: 其实对于新函数的冠名,在我们使用的教材中,早已存在,如苏教版必修1的2.6中,就有 “边际函数”的定义是 “在经济学
4、中,函数的边际函数定义为”,关键是正确理解函数定义,由此出发对函数进行探究,解决题中设置的所有问题. 考题欣赏: （2010江苏卷）设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有0，使得，则称函数具有性质。(1)设函数，其中为实数。(i)求证：函数具有性质； (ii)求函数的单调区间。(2)已知函数具有性质。给定设为实数，且，若|，求的取值范围。 (参考答案: (1) (i)略; (ii) 当时，在区间上递增； 当时，在上递减；在上递增; (2) 的取值范围是（0，1）)题型二: 对于两个函数来说,如果它们存在着某种关系,如值域相同或稍有误差,同单调或奇偶,图象形状相
5、似,零点相同等等, 我们也可对此冠名,定义两个函数之间的一个新关系,再研究其性质或讨论参数. 典例2.(2011江苏试题)已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间I上恒成立，则称和在区间I上单调性一致（1）设，若函数和在区间上单调性一致,求实数b的取值范围；（2）设且，若函数和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值。思路分析: 第(1) 题可根据“单调性一致”的定义,列得不等式, 化归为有关含参不等式恒成立的问题,求出实数b的取值范围; 第(2)题中,首先求函数的零点,从而确定其单调区间,再对函数中的参数进行讨论,得到有关单调区间组成的集合之间的相关联系,列出不等式而
6、求得参数的取值范围,从而求得最值.解法一：由条件得,(1)由条件可知,即,因,故,于是由得在区间上恒成立,所以实数b的取值范围;(2)当时,由得,所以当或时,当时, 若,则因,所以由可知, 函数和在区间（a, b）上不符合题意;若,则,故,由得,从而,解之得且,故取得,此时,在区间上满足,即单调性一致,综上所述, .解法二： (1)同法一.（2）当时，函数和在区间（b,a）上单调性一致，所以 即由得,从而在区间（b,a）上恒成立,得,法一:设，因点(b,a)的可行域为,设函数的斜率为1的切线的切点为,则由得,此时,所以取,时,即此时|a-b|的最大值为;法二: 由方程组得,从而由得.当时, 函
7、数和在区间（a, b）上单调性一致,同可知在区间（a, b）上恒成立,得,从而,此时|a-b|的最大值为;当时，因,所以由可知, 函数和在区间（a, b）上与条件矛盾,舍去;综上可知，。误点警示:题中条件 “以a，b为端点的开区间”未明确说明a，b的大小关系,必须对此进行分类讨论,其开区间为或. 强化练习: (2011无锡期末试题) 对于定义在区间D上的函数和,如果对于任意,都有成立,那么称函数在区间D上可被替代.(1) 若,试判断在区间上能否被替代?(2)记,证明在上不能被替代;(3)设,若在区间上能被替代,求实数的范围. (参考答案: (1)能;(2)略; (3) .) 我们从上面的例题可以体会到,对函数进行冠名,其实质是新定义型试题,也就是阅读理解题,其类型有冠名概念题、冠名性质题、冠名运算题、冠名符号题等等,解题思路是首先依葫画瓢,模仿定义,然后再殚精竭虑,领悟含义,用函数与方程、函数与不等式等思想解决问题。第 1 页 共 6 页
