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1、鞍山科技大学电信学院电子教研室 第五章IIR数字滤波器设计电子教案二、巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数定义为 （5-8）其中C为一常数参数，N为滤波器阶数，为归一化低通截止频率,。 式中N为整数，是滤波器的阶次。N=4N=10N=210.707图5-5 巴特沃斯低通滤波器的振幅特性巴特沃斯低通滤波器在通带内具有最大平坦的振幅特性，这就是说，N阶低通滤波器在处幅度平方函数的前2N-1阶导数等于零，在阻带内的逼近是单调变化的。巴特沃斯低通滤波器的振幅特性如图5-5所示。滤波器的特性完全由其阶数N决定。当N增加时，滤波器的特性曲线变得更陡峭，这时虽然
2、由（5-8）式决定了在处的幅度函数总是衰减3dB，但是它们将在通带的更大范围内接近于1，在阻带内更迅速的接近于零，因而振幅特性更接近于理想的矩形频率特性。滤波器的振幅特性对参数N的依赖关系如图5-5所示。 设归一化巴特沃斯低通滤波器的归一化频率为，归一化传递函数为，其中，则由（5-6）式和（5-8）式得：由于1图5-6 巴特沃斯低通滤波器指标 （5-9）所以巴特沃斯滤波器属于全极点滤波器。1、常用设计巴特沃斯低通滤波器指标：通带截止频率；：通带衰减，单位：dB；：阻带起始频率；：阻带衰减，单位：dB。说明：（1）衰减在这里以分贝（dB）为单位；即（2）当时为通常意义上的截止频率。（3）在滤波器
3、设计中常选用归一化的频率，即2、巴特沃斯低通滤波器设计实质根据设计指标要求，确定归一化巴特沃斯低通滤波器幅度平方函数中的待定系数C及滤波器的阶数N；然后再根据幅度平方函数确定巴特沃斯低通滤波器的传递函数H(s)。（1）将实际频率归一化得，再根据已知的，幅度平方函数 确定C和N。（2） 求C和N 由并带入 ，得 即因为，所以由两边取对数得：其中这样可以求出C和N。注意：当时，即C=1，此时巴特沃斯滤波器只剩下一个参数N。（3）确定巴特沃斯滤波器的传递函数H(p)。由于由，解得极点为：将p左半平面的极点赋予即其中为了便于设计，工程上已将当时，各阶巴特沃斯低通滤波器系统函数设计成表格供查阅，该表如表
4、5-1所示。在表5-1中的函数被称为归一化巴特沃斯原型低通滤波器系统函数。表5-1 归一化巴特沃斯模拟低通滤波器系统函数表阶次归一化系统函数12345（4）去掉归一化影响 上面设计中采用归一化的频率即，而实际中截止频率为，所以要进行如下的变量代换：即 综上，归纳出设计巴特沃斯低通滤波器的方法如下：（1）计算归一化频率，。（2） 根据设计要求按照和其中计算巴特沃斯滤波器的参数C和阶次N；注意当时 C=1。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数；（4）令中的得到截止频率为的巴特沃斯低通滤波器的系统函数。例5-2 已知滤波器的3dB截止频率为50Hz，试求一个二阶巴特沃斯低通滤波
5、器的实现方案。解：根据题义，滤波器设计指标为：截止频率；阶数N=2；查表得归一化低通巴特沃斯原型滤波器的系统函数为：rad/s，代入得：例5-3 试设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求截止频率，通带最大衰减，阻带起始频率，阻带最小衰减。解：已知，（1）计算归一化频率，。（2）计算出巴特沃斯滤波器的阶次N及C则 选择N=5。（3）利用N查表获得归一化巴特沃斯低通原型滤波器的系统函数；（4）去掉归一化影响三、切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计0N为奇数(a)10N为偶数(b)1图5-7 切比雪夫I型滤波器的振幅特性（a）N=3，2dB通带波纹的切比雪夫振幅特性（b）N=4，2dB通带波纹的切比雪
6、夫振幅特性0N为奇数(a)10N为偶数(b)1图5-8 切比雪夫II型滤波器的振幅特性巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在通带内还是阻带内都是频率的单调函数。因此，当通带的边界处满足指标要求时，通带内肯定会有裕量。所以，更有效的设计方法应该是将精确度均匀的分布在整个通带或阻带内，或者同时分布在两者之内。这样就可用较低阶数的系统满足要求。这可通过选择具有等波纹特性的逼近函数来达到。切比雪夫滤波器的振幅特性就具有这种等波纹特性。它有两种类型：振幅特性在通带内是等波纹的，在阻带内是单调的称为切比雪夫I型滤波器；振幅特性在通带内是单调的，在阻带内是等波纹的称为切比雪夫II型滤波器。采用何种形式的切比雪
7、夫滤波器取决于实际用途。图5-7和图5-8分别画出了N为奇数、偶数时的切比雪夫I、II型滤波器的频率特性。1、切比雪夫I型滤波器的基本特点现在介绍切比雪夫I型滤波器的设计，切比雪夫归一化滤波器的幅度平方函数为 （5-11）为小于1的正数，表示通带内振幅波动的程度。越大，波动也越大。为对截止频率的归一化频率，为截止频率，也是滤波器的通带带宽（注：切比雪夫滤波器的通带带宽并不一定是3dB带宽）。是N阶切比雪夫多项式，定义为 （5-12）表5-2 切比雪夫多项式展开式其中为反余弦函数；为双曲余弦函数；为反双曲余弦函数；它们的定义如（5-13）式和（5-14）式所示N01x234 （5-13） （5-
8、14）（5-12）式可展开为多项式的形式如表5-2所示： 由表5-2可归纳出各阶切比雪夫多项式的递推公式为 （5-15）图5-9示出了N=0，4，5时切比雪夫多项式的特性。由图5-9可见：1. 切比雪夫多项式的零值在的间隔内。1-11x图5-9 切比雪夫多项式曲线2. 当x1时，且具有等波纹幅度特性。3. 在的区间外，是双曲余弦函数，随着x而单调增加。再看函数，是小于1的实数，的值在之内，将在0至之间改变。而的函数值在之内，将在1至之间改变。然后将取倒数，即可得（5-11）式的切比雪夫I型滤波器幅度平方函数。根据以上所述，在，在接近1处振荡，其最大值为1，最小值为。在此范围之外，随着增大，则很
9、快接近于零。图5-7画出了切比雪夫I型滤波器振幅特性曲线，从中可以看出：振幅特性的起伏为1，因，所以在时，即切比雪夫I型滤波器的截止频率并不对应3dB的衰减。2、切比雪夫I型滤波器设计方法由（5-11）式可知，要确定切比雪夫滤波器的幅度平方函数，需要确定三个参数：及N。下面研究如何确定这三个参数，具体步骤如下：(1) 将实际频率归一化得，再根据已知的，幅度平方函数 确定和N。(2)确定和N。定义通带波纹(即通带衰减)（以分贝为单位）为：代入 ，得 即因为，所以则 其中 这样可以求出和N，其中。在已知、的情况下，就可以根据幅度平方函数求出滤波器的零点和极点，从而确定滤波器的系统函数。表5-3 归
10、一化切比雪夫原型滤波器分母多项式设计系数n波纹（）12.862775221.51620261.425624530.71569381.53489541.252913040.37905061.02545531.71686621.197385650.178923400.75251811.30957471.93736751.1724909波纹（）11.965226721.10251031.097734330.49130671.23840920.988341240.27562760.74261941.45392480.952811450.12282670.58053420.97439611.688816
11、00.9368201波纹（）11.307560320.63676810.803816430.32689011.02219030.737821640.20576510.51679811.25648190.716215050.08172250.45934910.69347701.49954330.7064606为了设计方便，工程上已将截止频率的切比雪夫低通滤波器的系统函数设计为表格供设计时查阅。归一化原型切比雪夫低通滤波器的系统函数如（5-18）式所示，设计表格如表5-3所示。 （5-18） 再次强调，表5-3是归一化的结果，对于具体的，其系统函数可由（5-19）式得到。 （5-19）综上所述，设
12、计切比雪夫低通滤波器的基本步骤如下：（1）计算归一化频率，。（2）根据通带波纹（通带衰减）db，按照式计算；（3）根据阻带起始频率，阻带衰减和。按照其中式计算滤波器的阶数N；（4）根据滤波器阶数N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数；根据的低频特性求出待定系数，注：当N为偶数时，；当N为奇数时，。（5）去掉归一化影响 根据截止频率，按照式计算切比雪夫滤波器的系统函数；例5-4 已知通带波纹为1db，截止频率，阻带截止频率，阻带衰减大于15db，试设计满足上述性能指标的切比雪夫型低通滤波器。解：已知，（1）计算归一化频率，。（2）计算。（3）计算滤波器的阶数N；选定 N=3。（4）根据滤波器
13、阶数N，查表得归一化原型切比雪夫滤波器系统函数；因为当N为奇数时， 即 所以（5）去掉归一化影响 5.3其它各型滤波器设计一、 模拟高通滤波器设计由于滤波器的幅频特性都是偶函数，所以模拟低通滤波器和模拟高通滤波器的幅频特性如图5-10（a）和（b）所示。11图（a） 模拟低通滤波器的幅频特性图（b） 模拟高通滤波器的幅频特性图5-10 模拟高通滤波器设计其中：和分别是模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率；表5-4 和间的关系观察图5-10（a）和（b）可知模拟低通滤波器和高通滤波器的归一化频率存在如下关系如表5-4所示。从而有：0 （5-20）通过式5-20可将高通滤波器的归一化频率转化为低通滤波器的归一化频率，同时通带和阻带衰减和保持不变。若令高通滤波器和低通滤波器的传递函数分别为和，其中，则即
