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1、在实际工程中荷载很少是以集中力的形式作用在地基上，而往往是通过基础分布在一定面积上。若基础底面的形状或基底下的荷载分布不均匀时，可用等代荷载法求解地基中附加应力；若基础底面的形状及基底下的荷载分布都均匀时，可用积分的方法求解地基中附加应力。下面介绍常见的基础底面形状及其在分布荷载（有规律）作用下，地基中附加应力z的计算。一、矩形面积均布荷载作用时土中竖向附加应力计算1、计算公式如图所示，当均布竖向荷载作用于矩形基础时，矩形基础角点下任一深度z处的附加应力可由布辛奈斯克公式进行积分求得。 在离坐标原点O为x、y处取一微分面积dA=dxdy，该面上集中力为dp，角点下M(0，0，z)的附加应力为：
2、代入及则：式中：A基础底面面积，A=lb；l为基础长边，b为基础短边；p0矩形基础上均布荷载。通过积分得：(3.23)式中：c均布矩形荷载角点下附加应力系数，可按下式计算或查教材中表3.4求得。(3.24)式中=l/b,n=z/b2、角点法当所求点不位于基础角点下时，可用角点法求解。通常M点的位置分下列四种情况。计算时，通过M点将荷载面积划分为若干个小矩形，然后按式(3.23)计算每个小矩形角点下同深度z处的附加应力，并求其代数和。这种方法即为角点法。注意：若干个小矩形面积之代数和应等于基础原有的受荷面积。(1)M点在荷载面边缘处(图(a)(2)M点在荷载面之内(图(b)(3)M点在荷载面边缘
3、外侧(图(c)(4)M点在荷载面角点外侧(图(d)3、举例【例题3.4】已知均布受荷基底面积如例图所示，求基底下8m处M点的附加应力。p0=100kPa。基底面积为32m2。【解】l/b=6/1=6 z/b=8/1=8 查表，得l/b=3/1=3 z/b=8/1=8查表，得 二、矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向附加应力计算1、计算公式如图所示，设沿矩形基础一边b分布的三角形荷载最大值为pt，在三角形荷载范围内取一微分面积dA=dxdy，该面上集中力为：通过积分，得荷载为零值边的角点1下任意深度z处竖向附加应力为：(3.25)式中：同理，还可求得三角形最大值边的角点2下任意深度z处的附加应
4、力：(3.26)t1和t2均为附加应力系数，且是m=l/b和n=z/b的函数，可按下式计算或查教材中表3.6求得。2、角点法对于基底范围之内(或之外)任意点下的附加应力，仍可利用角点法和叠加原理来进行。注意：应使所求点位于三角形分布荷载为零(或最大值)一点垂线上，b始终指荷载变化方向矩形基础底面的长度。3、举例【例题3.5】某矩形基础底面尺寸为l=3m,b=2m，基顶作用重直荷载F=1308kN，偏心矩e=0.25m，基础埋深1.5m，求例图(a)所示M点处地基附加应力。【解】(1)计算基底附加应力 将梯形分布的基底附加应力分成矩形均布荷载和三角形分布荷载，分别计算这两部分荷载在M点处引起的附
5、加应力，然后叠加。(2)计算由均布荷载引起的附加应力已由例题3.4得出为：(3)计算由三角形feb分布荷载引起的附加应力过e点延长be交M点的垂线于d点，使M点位于大三角形abd，小三角形deM和矩形afMd的角点处。根据角点法得下式：其中：pt1=496kPa，pt2=248kPa。l/b=1/6=0.2 z/b=8/6=1.3查表，得 t1=0.0158l/b=6/1=6 z/b=8/1=8查表，得 c=0.0311l/b=1/3=0.3 z/b=8/3=2.7查表，得 t2=0.0094zII=2(0.0158496-0.0311248+0.0094248)=4.91kPaz=zI+zII=2.26+4.91=7.17kPa三、圆形面积上作用均布荷载时土中竖向附加应力计算如图所示，设圆形荷载面积半径为r0，以圆心O为坐标原点，取微分面积dA=rddr，该面上集中力为dp=p0rddr，对整个圆面积积分，求得土中任意点M的附加应力。由于所以(3.27)式中：r圆形均布荷载下任意点的附加应力系数，可按上式计算或查表求得；l为所求点M垂直向上在圆面积上投影点与圆心之间距离(图)。当l=0时，则为：(3.28)式中：0均布圆形荷载中心点下附加应力系数，可按上式计算或查表求得。
