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1、2012年北京工业大学“太和顾问杯”数学建模竞赛复赛题目：深圳人口与医疗需求预测一、 问题重述深圳是我国经济发展最快的城市之一，30多年来，卫生事业取得了长足发展，形成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。从结构来看，深圳人口的显著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致
2、深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满足人口和医疗预测的要求。为了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：1.分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；2.
3、根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不同类型的医疗机构就医的床位需求。二、 问题（1）：A人口数量分析：1常住人口数a. 模型建立和求解.根据所学知识，人口增长的预测模型通常采用三种函数，即指数函数、Logistic函数和双曲函数。通过对深圳近十年的常住人口，非常住人口的变化特征，预测未来十年的深圳市人口数量和结构的发展趋势。对于深圳来说，常住人口和非常住人口的比较及各自数量变化是对经济发展和城市卫生建设十分重要的参数。选取合适深圳人口预测的数学模型时考虑深圳经济发展趋势，和各种预测模
4、型的特点及应用场合，再结合深圳市的具体人口特点选取适合的预测模型。这时我们考虑利用Logistic模型（阻滞增长模型）进行分析和求解，并且考虑到人口的增长率随着人口数量的增加而下降符合该模型的条件同时也满足深圳市人口变化规律，所以选择Logistic模型更为实际和合理。假设深圳市人口增长率为r，最大的人口数量为N，年份t时，人口数量为x,则Logistic模型为：dxdt=r(1-xN)xx0=x0其中xN为已消耗的资源比例，剩余资源1-xN体现了环境阻力的大小，所以该模型也称为阻滞增长模型，其解为xt=N1+(Nx0-1)e-rt求解出最大的人口数量N和人口增长率r.根据附录-1中深圳市20
5、01年至2010年常住人口数得到数据表如下：年份t常住人口数/万 2001 724.57 2002 746.622003 778.272004 800.82005 827.752006 871.12007 912.372008 954.282009 995.012010 1037.2通过上述数据表，得到：2001年至2010年的年份矩阵：t=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，2001年至2010年年末常住人口数矩阵：x=724.57,746.62,778.27,800.8,827.75,871.1,912.37,954.28,995.01,1037.2利用Matlab最小二乘法散点拟合
6、的方法，利用离散点上的数据集，构造一个解析函数（图形为一曲线），使得在原离散点上尽可能接近给定的值.编写matlab程序： x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;y=724.57,746.62,778.27,800.8,827.75,871.1,912.37,954.28,995.01,1037.2;plot(x,y,r*);legend(2001-2010)xlabel(x),ylabel(y); a=polyfit(x,y,2)a =1.4637 19.1144 703.3150由上述结果得散点拟合得出年份t与年末常住人口数x(t)的函数关系式为：xt=1.4637t2+19.11
7、44t+703.3150由此得出20012010年原始数据与拟合后所得数据的对比表:年份t理论人数（万人）拟合人数（万人）2001724.57723.89312002746.62747.39862003778.27773.83152004800.8803.19182005827.75835.47952006871.1870.69462007912.37908.83712008954.28949.90702009995.01993.904320101037.21040.80根据上述结果进行误差分析：利用公式2=i10(ai-bi)2,其中表示误差，ai表示第i年份深圳市常住人口数，bi表示第i年
8、份利用最小二乘法拟合得到的常住人口数，然后利用excel软件进行计算如下：由上图易知：相对误差为11.50616，相对来说较大，我们为了减少相对误差以和实际更为接近，我们进行选取和比较得到2005年-2010年的人口数量进行拟合，编写相应的matlab程序如下： x=5,6,7,8,9,10;y=800.8,827.75,871.1,912.37,954.28,995.01,1037.2;plot(x,y,r*);legend(2005-2010)xlabel(x),ylabel(y); a=polyfit(x,y,2)a = -0.1421 43.8719 612.3229同理得出年份t（2
9、0052010）与年末常住人口数x(t)的函数关系式为：xt=-0.1421t2+43.8719t+612.3229由此得出20052010年原始数据与拟合后所得数据的对比表:年份t拟合人数（万人）实际人数（万人） 2005827.9041827.75 2006870.6595871.1 2007912.7577912.37 2008954.1987954.28 2009994.9825995.01 20101036.831037.2根据上述结果进行误差分析：利用公式2=i10(ai-bi)2,其中表示误差，ai表示第i年份深圳市常住人口数，bi表示第i年份利用最小二乘法拟合得到的常住人口数，
10、然后利用excel软件进行计算如下：由上图易知：相对误差为1.074261,该值比较符合实际环境给人口数量造成的影响，从而根据x(t)表达式得出最大人口数量为3998.571334万人,则环境最大可容纳的人口数量约为4000万人，即模型N=4000万人。以下计算增长率r,也利用最小二乘法拟合方式，但是首先分别计算2005-2006年、2006-2007年、2007-2008年、2008-2009年以及2009-2010年的增长率，以2005年人口数为基准点即：x0=x0=827.75，由Logistic模型知道：xt=N1+(Nx0-1)e-rt，两边取对数得到各年份人口数量和该年份人口增长率
11、之间的线性关系：ln1xt-1xm=lnxm-x0xmx0-rt，估计出固定增长率r后，代入r(x)=r(1-xxm)求得r的最优估计,即得到增长率和时间t之间的关系。不妨假设y=-ln1xt-1xm+lnxm-x0xmx0,则易知y和时间t成正比，利用ecxel进行一元线性回归得：由上图得到固有增长率为r=0.0572,则r(x)=0.0572*(1-xN),固有增长率是当种群数量为零时的增长率，所以此时计算20062020年的增长率则用各年份相对于2005年增长数量进行计算，并且联立Logistic模型解，编写相应的LINGO程序如下：sets:year/1.15/:t,x;endsets
12、data: t=2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012, 2013,2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020;enddatafor(year(i):log(1/x(i)-1/4000)=log(4000-827.75)/(4000*827.75)-r*(t(i)-2005);r=0.0572*(1-(x(i)-827.75)/4000);运行上述程序得到结果如下：Total solver iterations: 3 Variable ValueX( 1) 865.5622X( 2) 904.6090X( 3) 944.8864X( 4)
13、 986.3856X( 5) 1029.094X( 6) 1072.992X( 7) 1118.059X( 8) 1164.265X( 9) 1211.578 X( 10) 1259.960 X( 11) 1309.367 X( 12) 1359.749 X( 13) 1411.053 X( 14) 1463.221 X( 15) 1516.187所以预测20112020年人口数量为：年份预测常住人口数量（万人） 20111072.992 20121118.059 20131164.265 20141211.578 20151259.960 20161309.367 20171359.749 20181411.053 20191463.221 20201516.187
