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1、7.3 合情推理与演绎推理核心考点精准研析考点一类比推理1.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,与半球(如图一)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥(如图二),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此证明该几何体与半球体积相等.现将椭圆+=1绕y轴旋转一周后得一橄榄状的几何体(如图三),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于()A.4B.8C.16D.322.我们知道:在平面内,点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式d=,通过类比的方法,可求得:在空间中,点(2,
2、4,1)到直线x+2y+2z+3=0的距离为()A.3B.5C.D.3【解析】1.选C.构造一个底面半径为2,高为3的圆柱,在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥,则当截面与底面距离为h(0h3)时,小圆锥的底面半径为r,则=,所以r=h,故截面面积为4-,把y=h代入椭圆+=1可得x=,所以橄榄球形几何体的截面面积为x2=4-,由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积V=2(V圆柱-V圆锥)=2=16.2.选B.类比平面内点到直线的距离公式,可得空间中点(x0,y0,z0)到直线Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=,则所求距离d=5.类比推理的分类考点二演绎推理【典例】已知数列an中,a
3、1=1,an+1=(nN+). (1)求a2,a3,a4的值,猜想数列an的通项公式.(2)运用(1)中的猜想,证明数列是等差数列,并注明大前提、小前提和结论.【解题导思】序号题目拆解(1)猜想数列的通项公式根据a2,a3,a4的结构特征归纳猜想(2)证明数列是等差数列证明-=常数【解析】(1)因为数列an中,a1=1,an+1=,a2=,a3=,a4=,猜想:an=.(2)因为通项公式为an的数列an,若an+1-an=d,d是常数,则an是等差数列,大前提又因为-=,为常数;小前提所以数列是等差数列.结论演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理,其一般形式是三段论,应用三段论解
4、决问题时,应当首先明确什么是大前提和小前提,如果前提是显然的,则可以省略.(2)在推理论证过程中,一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成.设数列an的前n项和为Sn,且满足an=2-Sn(nN*).(1)求a1,a2,a3,a4的值并写出其通项公式.(2)用三段论证明数列an是等比数列.【解析】(1)由an=2-Sn,当n=1时,a1=2-S1=2-a1,解得a1=1,当n=2时,a2=2-S2=2-a1-a2,解得a2=,当n=3时,a3=2-S3=2-a1-a2-a3,解得a3=,当n=4时,a4=2-S4=2-a1-a2-a3-a4,解得a4=,由此归纳推理得an=(nN*).
5、(2)因为通项公式为an的数列an,若=p,p是非零常数,则an是等比数列;因为通项公式an=,又=;所以通项公式an=的数列an是等比数列.考点三归纳推理命题精解读1.考什么:(1)考查数学定义、等式、不等式的证明.(2)考查逻辑推理的核心素养.2.怎么考:与数列、基本初等函数结合考查数学概念、数列相关的等式、不等式的证明.3.新趋势:与三角、统计等知识点的交汇问题.学霸好方法1.数字排列问题的解题方法:先从行的规律归纳开头与末尾的数与所在行的关系式,再从列的规律归纳数与所在列的关系式,最后归纳表中各个数与行列的关系式2.与式子有关的推理(1)与不等式有关的归纳推理:观察所给几个不等式两边式
6、子的特点,注意纵向看、找出隐含规律.(2)与数列有关的归纳推理:通常是先求出几个特殊项,采用不完全归纳法,找出数列的项与项数的关系,列出式子即可.3.图形问题的解法:与图形变化有关的归纳推理,合理利用特殊图形归纳推理得出结论,并用赋值检验法验证其真伪性.与数字有关的归纳推理【典例】(2019宜昌模拟)大衍数列,源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论,揭示了中国传统文化中的太极衍生原理(其衍生过程如图所示).已知大衍数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则此数列第25项与第26项之和为()A.600B.650C.700D.750【解析】选B.0,2,4,8,1
7、2,18,24,32,40,50,60,72,84,98,112,128,144,162,180,200,220,242,264,288,312,338,故此数列第25项与第26项之和为312+338=650.与式子有关的归纳推理【典例】(2019武汉模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,第n个三角形数为=n2+n,记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数N(n,3)=n2+n正方形数N(n,4)=n2五边形数N(n,5)=n2-n六边形数N(n,6)=2n2-n可以推测N(n,k)=_,由此计算N(
8、5,12)=_.【解析】原已知式子可化为:N(n,3)=n2+n=n2+n;N(n,4)=n2=n2+n;N(n,5)=n2-n=n2+n;N(n,6)=2n2-n=n2+n;可推测N(n,k)=n2+n,故N(5,12)=552-45=105.答案:n2+n105与图形有关的归纳推理【典例】(2020衡水模拟)如图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第(2)个多边形是由正方形“扩展”而来,如此类推.设由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为an,则+=()A.B.C.D.【解析】选A.a3=12,a4=20,a5=30,猜想an=n(n+1)(n3,nN*),所以=-,所以+=+=-=
9、.1.(2020山东省实验中学模拟)观察下列式子,ln 2,ln 3+,ln 4+,根据上述规律,第n个不等式应该为_.【解析】根据题意,对于第一个不等式,ln 2,则有ln(1+1),对于第二个不等式,ln 3+,则有ln(2+1)+,对于第三个不等式,ln 4+,则有ln(3+1)+,以此类推:第n个不等式为:ln(n+1)+.答案:ln(n+1)+2.(2020西北工业大学附中模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以下排列的规律,第n行(n3)从左向右的第3个数为_.12345678910【解析】第n-1行最后一个数是1+2+3+(n-1)=,第n(n3)行从左至右的第3个数是+3=
10、.答案:如图,将平面直角坐标系的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签:原点处标0,点(1,0)处标1,点(1,-1)处标2,点(0,-1)处标3,点(-1,-1)处标4,点(-1,0)处标5,点(-1,1)处标6,点(0,1)处标7,以此类推,则格点坐标(22,23)的标签为()A.2 109B.2 107C.2 207D.2 209【解析】选C.观察图像得点(1,0)处标1,即12,点(2,1)处标9,即32,点(3,2)处标25,即52,归纳点(n+1,n)处标(2n+1)2,则格点坐标(24,23)的标签为(223+1)2=2 209,又点(22,23)在点(24,23)左边两格,即格点坐标(22,23)的标签为2 207.
