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1、运用空间向量解题三技巧524500 广东省吴川市第一中学331信箱 柯厚宝从引入空间向量后,立体几何问题的解题思路变得明确、有序.但是,也不能认为它是万能的,有时用不好,还可能弄巧成拙,招来繁重的运算量,使得解题步步艰难.下面结合例题谈三点技巧,供同学们参考.一、能写出的,直接写出建立空间直角坐标后,有些向量可以通过观察后直接写出的,这时我们不防将其直接写出,避免一些不必要的无用计算.例1 已知三棱柱的三视图如图所示,其中主视图和左视图均为矩形,在俯视图中,.(1)在三棱柱中,求证:;(2)在三棱柱中,若D是底边AB的中点,且,求二面角的余弦值.yxzABCA1C1B1D 分析:中,运用余弦定
2、理得,知,进而可证;建立空间直角坐标系后可求二面角的余弦值. 解:(1)(略);(2)由(1)知,以C为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则,.,.设平面的法向量为,由,得,令,得,.又平面ABC的法向量为,=.二面角的余弦值为.评注:平面ABC的法向量是经过观察后直接得到的,从而回避了大量的无用重复运算,使得解答简洁明了.二、能猜出的,先猜后证 解题时,充分挖掘图形的结构特征,对线线、线面关系进行大胆的猜测与论证,采取“先猜后证”的策略,常可收到很好的效果.例2长方体中, ,是底面对角线的交点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成的角的大小.分析:由可证平面;由图我们猜测平面,建立空间直
3、角坐标系,稍加证实即可进一步求所求的角的大小.解:(1)(略);(2)以D为原点建立空间直角坐标系,则,.则,于是平面,为直线与平面所成的角.而,得,.评注:本题猜得平面后,直接实施验证,回避了繁杂的法向量的求解,使得解答简明流畅.三、能取整数的,整数优先求平面的法向量时,通常要求出一个三元一次方程组的一组解,在寻找这组解的过程中,若能以“整数解优先”为取解原则,常可有效的降低运算量,进而顺利地解决问题.例3如图,已知点在圆柱的底面圆上,为圆的直径.xyz(1)求证:;(2)若圆柱的体积,求二面角的余弦值. 分析:(1)不难得证;对于(2),先由题意求,再以A为原点建立空间直角坐标系可得解.解:(1)略;(2)如图,以为原点,分别以,为,轴,并以建立空间直角坐标系.由题意,解得.易得相关点的坐标分别为:,.,设平面的法向量为,由,得,令,则,又平面的法向量为,.二面角的余弦值为.评注:本题令,回避了后面的分数运算,降低了运算量,值得我们借鉴(其实例1也用了该技巧).【数学周报2010年第2226期】3
