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1、(完整word版)定积分的计算和应用定积分的计算与应用见涛(阜阳师范学院附属中学,514063917qq。com） 摘 要： 定积分是微积分学中从实际问题中抽象出来的一个重要的基本概念，也是积分学的基本运算之一.本文主要讨论定积分的计算及其应用,对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结,并较为深入地探讨了定积分在几何,物理，经济等领域都有着非常广泛的应用.关键词： 定积分； 计算； 应用众所周知，微积分的两大部分是微分与积分微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数,求这一函数.所以，微分与积分互为逆运算。实际上,积分还可以分为两部分.第一种是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若的
2、导数是，那么(是常量）的导数也是，也就是说，把积分不一定能得到,因为的导数也是,是无穷无尽的常数,所以积分的结果有无数个,是不确定的我们一律用代替，这就称为不定积分。而相对于不定积分，就是定积分.所谓定积分，就是以平面图形的面积问题引出的。为定义在上的函数，为求由所围图形的面积，采用古希腊人的穷举法，先在小范围内以直代曲，求出的近似值，再取极限得到所求面积，为此，先将分成等份：，取，记，则为的近似值，当+时， 的极限应可作为面积。把这一类问题的思想方法抽象出来，便得定积分的概念 定义：对于定义在上的函数，作分划, 若存在一个与分划及的取法都无关的常数，使得 (1) 则称为在上的定积分，记作，称
3、为积分区间, 称为被积函数,分别称为积分的下限和上限。当的原函数存在时,定积分的计算可转化为求的不定积分.其实定积分也叫黎曼积分.我们还可以看到，定积分的本质是把图像无限细分，再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数.它们看起来没有任何的联系，那么，为什么定积分写成积分的形式呢？定积分和积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要理论的支撑,使得它们有了本质的密切联系.把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论,可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿莱布尼兹公式定理（牛顿莱布尼兹公式）设函数在闭区间上连续,且是它在该区间上的一个原函数，则 = 也常写成
4、= （2)此公式用文字表述就是说一个定积分式的值.就等于上限在原函数的值与下限在原函数的值的差,且这个差值是确定的，是一个数，而不是一个函数。正因为这个理论揭示了积分与定积分本质的联系,可见定积分在积分学以至更高等的数学上或其它领域的重要地位.因此，牛顿莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理.一、定积分的计算方法(一)几种基本的定积分计算方法由牛顿莱布尼兹公式知,计算连续函数的定积分，关键是求的原函数，也就是求的不定积分,那么由不定积分的换元积分法和分部积分法，自然推出定积分的换元积分法和分部积分法。 用定义计算例1 计算定积分解 设,用分点把区间分割为个小区间，记，,在上任取一点，有,作积分和
5、= =，则 。因此 . 利用牛顿莱布尼兹公式计算例2 求解 . 换元法 例3 计算解 =（凑微元法）例4 求解 设,从而，当时,； 当时，=。则 = 注意：用把原来的变量换成新变量时，积分限也要换为相应新变量的积分限.即对应的为下限，对应的为上限；公式中的谁大谁小不受限制。 分部积分法例5 求解 设,于是 .则.注意:在利用分部积分公式计算定积分时,不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步。（二）几种简化的定积分计算方法 关于原点对称区间上函数的定积分例6 计算解 由于为偶函数，为奇函数，所以 = =。2 。周期函数的定积分例7 设是周期为的周期函数，且连续，则 (是任意常数)
6、 证明：由于 又 所以 3。递推公式例8 计算解 = =.4.恒等变形例9 计算解 =,由于 ,所以 原式=.二、定积分的应用定积分的概念是从许多实际问题中抽象出来的,所以它的应用是多方面的几何上的应用包括求体积,弧长，面积；物理上的应用将包括计算力所做的功，静压力，引力等等；及其在经济上的一些应用.（一）定积分在几何中的应用 平面图形的面积 解这类问题一般应用微元法例10 计算椭圆所围成的平面图形的面积解 由于椭圆关于轴与轴对称,所以只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到所求平面图形的面积.由，现选择为积分变量（也可选择为积分变量，难易程度相当）它的变化区间为，于是 ,令，则，当时
7、，；。所以 =,特别地 当时，得圆的面积为。注：求解这类简单曲线时，首先应求出曲线的交点;画出经过交点的曲线;选择适当的积分变量可使运算简便。 旋转体的体积例11 计算椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积。解 ，如果，就得到半径为的球的体积为。例12 求由抛物线,直线及轴所围成的平面图形分别绕轴，轴旋转所成的旋转体的体积 解 设绕，轴旋转的体积分别为，则 , 参考文献:1 Robert Ellis Denny Gulick。微积分（上)M.江苏:科学技术出版社，1987年6月。 388。2 谢盛刚.微积分(上）M。北京：科学出版社，2004年7月. 134.3 谢盛刚.微积分（上)M。北京：科学出版社,2004年7月. 136.4 钱吉林.数学分析题解精粹M。武汉：崇文书局,2003年10月. 266。5 苏德矿。吴明华 微积分(上）M。北京：高等教育出版社，海德堡:施普林格出版社,2000年7月. 209.姓名:见涛单位:阜阳师范学院附属中学地址：阜阳师范学院附属中学邮编：236041手机号:139655801972
