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1、北京市海淀区2013届高三第一学期期末考试数学(文)试题 2013.1 本试卷共4页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. 复数化简的结果为 A. B. C. D.2. 向量, 若, 则实数的值为 A. B. C. D. 3. 在等边的边上任取一点,则的概率是 A. B. C. D. 4.点是抛物线上一点,到该抛物线焦点的距离为,则点的横坐标为A2 B. 3 C. 4 D.5 5.某程序的框图如图所示, 执行该程序
2、,若输入的为,则输出的的值分别为 A. B. C. D. 6.已知点, 且, 则直线的方程为 A. 或 B. 或C. 或 D. 或7. 已知函数 则下面结论中正确的是A. 是奇函数 B. 的值域是C. 是偶函数 D. 的值域是8. 如图,在棱长为1的正方体中,点分别是 棱的中点,是侧面内一点,若平面 则线段长度的取值范围是A B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 的值为_.10. 双曲线的渐近线方程为_;离心率为_.11. 数列是公差不为0的等差数列,且,则12. 不等式组表示的平面区域为,直线与区域有公共点,则实数的取值范围为_.13. 三棱锥及其三视图中
3、的主视图和左视图如 图所示,则棱的长为_. 14. 任給实数定义 设函数,则=_;若是公比大于的等比数列,且,则三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15. (本小题满分13分)已知函数,三个内角的对边分别为且. (I) 求角的大小; ()若,求的值. 16. (本小题满分13分) 某汽车租赁公司为了调查A,B两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各50辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A型车出租天数34567车辆数330575B型车出租天数34567车辆数101015105(I) 试根据上面的统计数据,判断这两种车型在
4、本星期内出租天数的方差的大小关系(只需写出结果);()现从出租天数为3天的汽车(仅限A,B两种车型)中随机抽取一辆,试估计这辆汽车是A型车的概率;()如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识,给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由.17. (本小题满分14分)如图,在直三棱柱中,且是中点.(I)求证:平面;()求证:平面.18.(本小题满分13分)已知函数与函数在点处有公共的切线,设.(I) 求的值()求在区间上的最小值.19. (本小题满分14分)已知椭圆:的一个焦点为,左右顶点分别为,. 经过点的直线与椭圆交于,两点.()求椭圆方程;()
5、当直线的倾斜角为时,求线段的长;()记与的面积分别为和,求的最大值.20. (本小题满分13分)已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称 为“一阶比增函数”.() 若是“一阶比增函数”,求实数的取值范围;() 若是“一阶比增函数”,求证:,;()若是“一阶比增函数”,且有零点,求证:有解. 海淀区高三年级第一学期期末练习 数 学 (文)参考答案及评分标准 20131说明: 合理答案均可酌情给分,但不得超过原题分数.一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)题号12345678答案AACBCBDB二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题,第一空3分,第二空2分,共30分)9
6、1 10 11 12 13 140; 三、解答题(本大题共6小题,共80分)15(本小题满分13分)解:(I)因为 6分 又, 7分 所以, 9分 ()由余弦定理 得到,所以 11分解得(舍)或 13分 所以 16. (本小题满分13分)解:(I)由数据的离散程度可以看出,B型车在本星期内出租天数的方差较大3分()这辆汽车是A类型车的概率约为 这辆汽车是A类型车的概率为 7分()50辆A类型车出租的天数的平均数为 9分50辆B类型车出租的天数的平均数为 11分答案一:一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62,B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8,选择B类型的出租车的利润较大,应
7、该购买B型车 13分答案二:一辆A类型的出租车一个星期出租天数的平均值为4.62,B类车型一个星期出租天数的平均值为4.8,而B型车出租天数的方差较大,所以选择A型车 13分17. (本小题满分14分)解:(I) 连接交于点,连接因为为正方形,所以为中点又为中点,所以为的中位线, 所以 3分又平面,平面 所以平面 6分 ()因为,又为中点,所以 8分 又因为在直三棱柱中,底面,又底面, 所以, 又因为,所以平面, 又平面,所以 10分在矩形中, ,所以,所以,即 12分又,所以平面 14分18. (本小题满分13分)解:(I)因为所以在函数的图象上又,所以所以 3分()因为,其定义域为 5分当
8、时,所以在上单调递增所以在上最小值为 7分当时,令,得到(舍)当时,即时,对恒成立,所以在上单调递增,其最小值为 9分当时,即时, 对成立,所以在上单调递减,其最小值为 11分 当,即时, 对成立, 对成立 所以在单调递减,在上单调递增 其最小值为13分综上,当时, 在上的最小值为 当时,在上的最小值为 当时, 在上的最小值为.19. (本小题满分14分) 解:(I)因为为椭圆的焦点,所以又 所以所以椭圆方程为 3分()因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,所以直线方程为,和椭圆方程联立得到,消掉,得到 5分所以 所以 7分()当直线无斜率时,直线方程为,此时, 面积相等, 8分 当直线斜率存在(显然)时,设直线方程为,设和椭圆方程联立得到,消掉得显然,方程有根,且 10分此时 12分因为,上式,(时等号成立) 所以的最大值为 14分20. (本小题满分13分)解:(I)由题在是增函数,由一次函数性质知当时,在上是增函数,所以 3分()因为是“一阶比增函数”,即在上是增函数,又,有,所以, 5分所以,所以 所以 8分()设,其中.因为是“一阶比增函数”,所以当时,法一:取,满足,记由()知,同理,所以一定存在,使得,所以 一定有解 13分法二:取,满足,记因为当时,所以对成立只要 ,则有,所以 一定有解 13分