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1、4 抽象与概括一、什么是抽象与概括通过直观获得的感性认识，往往是比较粗糙和肤浅的，要利用它来进行理性思维，还必须对它进行进一步的加工、提炼，形成概念，得到新的知识这种过程就是抽象概括的过程抽象概括的过程，实际上就是把感性认识上升到理性认识的过程所谓抽象，就是把所研究的事物的本质属性抽出来加以考察的方法从更广泛的意义上讲，就是从某种角度去看待对象和过程，而舍弃其它的方面为了进行抽象，又必须首先进行分析，把事物的各种属性分离出来，进而从中选取某种本质属性，而舍弃那些非本质或次要的方面由于学科、研究过程和目的不同，对同一事物，可以有不同的考察角度，因而什么是本质属性，也有所不同，这样也就可以获得不同
2、的抽象例如，同是建筑一座大楼，建筑学家要考虑其结构性能，施工者要考虑省工省料，使用者要考虑其通风采光，而数学家则从数量关系和空间形式去考察它概括就是把若干事物共同的属性联合起来考察的方法例如，我们从日出日落，潮涨潮退，一年四季及正弦曲线、余弦曲线的图象等，观察到这样的共同属性：当函数的自变量增加到一定数值时，函数值可以重复出现我们把这些个别事物的各自的属性联合起来考察，发现了它们的共同性质变化的周期性由上面可以看到，抽象和概括都必须从分离对象的属性开始，这就是分析；又必须把有关的属性结合起来，这就是综合抽象所结合的是“本质的属性”，概括所结合的则是“共同的属性”；抽象可以仅涉及一个对象，而概括
3、则涉及多个对象；抽象服从考察的角度，而概括则由多个对象本身决定在实际研究过程中，抽象和概括常常是联系着的单纯的概括可能得出所考察对象的全部共同属性，其中一些属性是多余的，不符合研究需要，因此，概括通常在研究目标即考察角度的指导下进行，称为抽象概括抽象概括是把一类事物共同的本质属性联合起来考察，进而形成概念或对规律的认识二、数学研究中的抽象与概括科学的抽象与概括的方法，在数学研究中起着重要的作用，它们对于数学概念的形成、发展和推广都有重要的意义数学对象、概念、方法、符号等，都是经过科学抽象得来的，许多概念、性质的推广，都用到了概括的方法抽象与概括作为重要的数学方法，在数学研究中应用十分广泛下面介
4、绍几种在数学中常用的抽象方法1等价抽象 在数学研究中，把同类对象的共同性质抽取出来而舍弃对象的其它性质，这种抽象方法称为等价抽象例如，对于两个集合来说，如果能够在它们的元素之间建立起一一对应关系，则称它们为对等的集合把一切对等集合在数量上的共同特征抽象出来，就得到了各个自然数的概念如与一只手的手指的集合对等的一切集合在数量上的共同特征抽象出来就得到自然数“5”这种抽象就是等价抽象又如，两个三角形，它们的对应角相等，对应边成比例，具有这样的性质的三角形，它们都具有相同的形状把三角形这种相同的性质和形状的特点抽象出来就得到相似三角形的概念这也是等价抽象再如，在自然数中有的数被一个自然数除，都得到相
5、同的余数(如2，7，12，17，被5除都得到余数2)，从这类自然数的共同特征抽象得到同余数的概念，也是等价抽象我们知道，类似上述三例中所研究的对象之间的关系：一一对应、相似、同余等，都具有这样的重要特点：即自反性、对称性和传递性在数学中，具有这三个特点的关系称为等价关系，所以这种抽象也叫做等价抽象也就是说，从研究对象中抽取出它们的共同性质的抽象方法即为等价抽象2理想化抽象所谓理想化是指通过抽象得到的数学概念和性质，并非客观事物本身存在的东西，而是从实际事物中分离出来的经过思维加工得来的，甚至是假想出来的概念和性质例如，在数学中从单摆运动的过程抽象出极限概念时，把空气阻力和摩擦阻力等因素不计，即
6、把这些阻力对单摆运动的影响看作零显然，这样的数学单摆只是在抽象中存在，与实际的物理单摆相分离这样，从数学单摆再抽象出极限概念，就是理想化的抽象又如，在几何中的“点”、“直线”、“平面”等抽象概念，在自然界也是不存在的，都是经过人们的智慧加工得来的理想化概念几何中的“点”是从自然界中物体的大小无限地减少可能得到的结果，或者在物体的大小比较中，大大可以忽略不计的物体中抽象得来的，而且把它理想化为无长、无宽、无高的“点”同样，“直线”、“平面”等抽象概念，也都是经过这样的理想化而得到的在数学中，往往在原有的对象中引入理想化元素，创造出新的数学理论例如在平面几何中，如果引入无限远点(理想化元素)并把平
7、行的两条直线看成在无限远点相交，那么，我们就得到一个命题：“两条直线必交于一点，有可能交于两点”这与欧氏几何中的“两条直线至多有一个交点”的结论就有所不同了又如，在实数中解方程遇到负数开偶次方的问题，在实数的基础上引入理想化元素虚数，不仅使开方运算畅通无阻，而且使虚数和实数一起进行运算建立了复数理论，从而得到“一元n次方程必有n个根”等新的命题，后来又进一步发展到复变函数的理论上述事例说明，理想化抽象的方法在数学的发展和发明创造中具有重要的作用3可能性抽象 在数学中常常研究各种抽象对象的无限集合，自然数列就是一个例子要把自然数列无限延伸，必须把人类生命的有限性以及认识客观事物在时间上的局限性舍
8、去，才有可能实现无限地延伸自然数列的设想从实践的观点来看，能够实现的过程必须是有限个步骤因此，任何人都不可能把自然数列延伸到无限的境地但是，人们认识到，如果能够把自然数列延伸到任何一个自然数n，那么必能写出n后面的一个自然数n+1由此，认为把自然数列无限延伸潜在着实现的可能性，简称可能性把这种性质抽象成为无限延伸概念的特殊方法是一种潜在可能性的抽象方法，简称可能性抽象在数学中，无限小、无限大、极限过程等概念都是由这种抽象方法得来的六边形算起，把边数连续倍增来计算圆周长等等，都是以前一步计算结果为根据，就能够算出后一步的结果，这就认为可能无限地计算下去由此，得到循环小数、无理数、圆周率等概念，这
9、些都是运用了可能性抽象的方法得到的数学概念从上述抽象的意义和方法来看，科学的抽象方法是数学的一个十分重要而且作用很大的研究方法和学习方法同样，在数学中也广泛地运用概括的方法，并且概括的方法对数学的发展起了很大的作用例如，自然数的运算性质推广到有理数运算，进一步推广到实数和复数运算，就是运用了概括的方法又如，在中学数学里幂的运算性质，把同底数的自然数指数幂的运算性质aman=am+n，aman=am-n，(ab)nanbn，(am)namn，推广到有理数指数幂，以及实数指数幂的运算都是运用了概括的方法在几何中，把平面几何中的一些图形性质和关系推广到立体几何的一些同类图形的性质和关系例如，在平面几
10、何中，两边分别平行的两个角相等或互补这样的两个角的关系可以推广到立体几何中的两个角又如，在数学研究中，常常把现实存在的一维、二维、三维空间图形的性质和概念推广到更多维的空间图形，这些都是运用了概括的方法三、抽象与概括在数学学习中的作用和意义1抽象概括对于深刻理解数学由具体到抽象的发展具有重要意义内容的高度抽象是数学的主要特征之一可以说，数学的发展就是从空间形式和数量关系两个方面对对象不断抽象的过程拿函数概念的发展来说吧，我们在初中最早接触的函数，是一般的代数式，这同18世纪伯努利所接触到的一样他的定义是：“由变数x和常数结合成的式子，叫x的函数”，但是，人们又发现，在这个定义中涉及的是式子y的
11、值和x的值的某种确定的对应关系在实际生活中，有一些情况，y的值和x的值同样有这样的对应关系，它们能否用解析式表达倒是次要的为了概括这种情况，柯西、黎曼(Georg Friedr1ch Bernhard Riemann，1826-1866)所用的定义是：“对于x的每一个值，如果y有完全确定的值与之对应，不论x、y之间建立的对应方式如何，y都叫做x的函数”这个定义同今天初中教材中的函数定义已经很接近了为了使用方便，美国数学家维布伦( Oswald Veblen，1880-1960)又提出了这样的函数定义：在变量y的集合Y和另一变量x的集合X之间，如果存在对X的每一个值，Y都有唯一确定的值与之对应的
12、关系，则Y叫做X的函数，记为fXY这已经接近于现行高中教材中的函数定义了但是抽象过程还没有结束由于数学研究各种各样的函数(整函数、有理函数、对数函数、三角函数等)，而为了讨论任意的函数，就必须舍去上述函数及其它函数的具体性质，引入一般函数的概念，这就是下一个抽象化的阶段。此后出现了泛函把函数当作特殊对象，它是函数概念趋向一般化的自然结果由此可见，导致数学一般化的抽象，使概念的抽象水平愈来愈高，概念的外延也就不断扩大数学，很大程度上就是这样发展起来的正是由于数学的抽象的特点，使得数学有了极为广泛的用场一般地，用数学解决一个有关的具体问题，总是这样进行的：具体问题获解所以，学数学，首先就要经历抽象
13、概括的过程，这不仅对学好数学，而且对于学好任何科学都是极为有用的这是因为，任何科学研究，其目的都是概括出研究中获得的东西。正如达尔文说的：“我的智慧变成了一种把大量个别事实化为一般规律的机制”2抽象概括，是一般地领会知识的重要环节感性认识只能建立直觉和表象，还不能刻画事物的本质，它只是连接思维和外界的媒介环节感性得到的东西，经过思维的加工处理，比直接的感觉经验更深刻、更正确地反映现实列宁说：“当思维从具体的东西上升到抽象的东西时，它不是离开如果它是正确的真理，而是接近真理物质的抽象，自然规律的抽象，价值的抽象及其它等等，一句话，那一切科学的(正确的、郑重的、不是荒唐的)抽象都更深刻、更正确、更
14、完全地反映着自然”在数学学习中，只有把感性认识加以概括提升，才能领会知识的本质在数学学习中，包括解题过程中，通过抽象概括，才能认识题目的实质，把问题提高到理性水平上，联系数学理性认识的成果去解决问题比如，七桥问题如不提高到是一笔划问题，就用不上一笔划的研究成果在数学学习中，除了建立知识系统外，还必须建立观念系统或观点系统，例如方程的观点、函数的观点、变量代换的观点等观点是在对知识系统的认识和评价的基础上再抽象、再概括形成的它来源于一般知识的学习，但又高于它它是对所学知识不断地自觉地进行抽象的结果，是驾驭知识解决问题的指导思想确的又a、b、d都是整数，试求a、b之值解此题时，中学生往往按一般解根
15、式方程的程序逐次平方，化为有理方程，然后去求解然而这是行不通的但是在观念系统下来考察此题，将方程、整数、算术根等概念综合考虑，结合原根式方程的结构特征，不难发现所给问题相当于解如下方程组而的左端两根号内均为非负整数，因为右端为正从而有 将所得(a，b)之值分别代入来检验，可知所求的(a，b)之值只有如下四对，即(12，37)，(3，4)，(-4，-3)，(-13，-8)3通过学习中的抽象概括阶段培养抽象概括能力抽象概括能力是数学思维能力的一个重要组成部分学习者在遇到一个具体的需要利用数学方法解决的问题时，应能首先把它抽象成数学问题，乃至构造一个数学模型，把已知和未知以及它们之间的关系，都翻译成模型中的元件和结构(如列方程解应用题)，然后在数学理性知识的范围内加以解决例2 试证明：对角线都相等的凸多边形不超过五边本题涉及了对角线不相等的许多多边形为了揭示它们的共同特性，我们来观察六边形，把六边形同五边形相比较：五边形的一边AB的相对顶点只有一个，记作C，而六边形的一边AB的相对顶点则有两个
