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1、2020届福建省三明市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、单选题1已知是虚数单位，复数是实数，则实数=A0 B C D12已知，集合，若，则=A1
2、B7 C2 D83已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则A BC D4若等比数列的前项和为，且，则A16 B C16或 D或545若a、b表示直线，表示平面，则以下命题为正确命题的个数是若，则； 若，则；若，则； 若，则；A0 B1 C2 D36已知变量满足约束条件，若的取值集合为M，则A B C D7椭圆的焦点为，P为椭圆上一点，若，则的面积是A B C D8已知底面半径为1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则此球的表面积为A B C D9已知曲线关于直线对称，则的最小值为A B C D10已知点P(1，2)和圆C：，过点P作圆C的切线有两条，则k的取值范围是A B CR D
3、11设椭圆与直线交于A、B两点，O为坐标原点，若是直角三角形，则椭圆的离心率为A B C D12已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数k的取值范围是A B C D二、填空题13已知两个单位向量的夹角为，则的值为_14已知，则_.15一个空间几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积是_16设，b0，则的最小值为_.三、解答题17数列的前项和为 （I）求数列的通项公式； （II）求数列的前项和18已知，（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；（2）在中，角所对的边分别是，若，且面积为，求19如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，ABEF，矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，已知AB
4、2，EF1（I）求证：平面DAF平面CBF；（II）若BC1，求四棱锥FABCD的体积20已知椭圆 的左焦点为F，上顶点为A，直线AF与直线 垂直，垂足为B，且点A是线段BF的中点.（I）求椭圆C的方程；（II）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线MP与直线 交于点Q，且,求点P的坐标.21已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明.22选修4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为 (为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系.（I）求圆的普通方程及其极坐标方程；（II）设直线的极坐标方程为，射线与
5、圆的交点为，与直线的交点为Q，求线段PQ的长.23选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为M.（I）若，求集合M；（II）若，求实数的取值范围.2020届福建省三明市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题数学 答 案参考答案1C【解析】【分析】根据复数是实数，将其展开化简后，令虚部等于零，求得实数的值.【详解】依题意是实数，故，解得，所以选C.【点睛】本小题主要考查复数的乘法运算，考查复数是实数的条件，即虚部为零.属于基础题.复数乘法运算要注意.2B【解析】【分析】根据两个集合的交集含有元素可知，两个集合都有元素，代入集合求得的值，进而求得的值和的值.【详解】由于，所以是两个集合的公共元素，
6、故，代入集合得，.所以.本小题选B.【点睛】本小题考查集合交集的运算.两个集合的交集，是这两个集合的公共元素所构成的集合.属于基础题.3A【解析】【分析】由于函数是偶函数，所以.再根据函数在上的单调性，可判断出正确的选项.【详解】由于函数是偶函数，所以.由于，且函数在单调递减，故.所以选A.【点睛】本小题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，以及对数比较大小等知识，属于中档题.考查奇偶性方面，若函数为奇函数，则满足，若函数为偶函数，则满足.奇函数在轴两侧的单调性相同，偶函数在轴两侧的单调性相反.4C【解析】【分析】将用来表示，求得的值，进而求得的值.【详解】由于数列是等比数列，所以有，解得或，当
7、时，；当时，.故选C.【点睛】本小题考查利用基本元的思想求解等比数列的公比，考查等比数列的通项公式及前项和公式.要注意有两个解，属于基础题.5A【解析】【分析】根据空间中直线与平面的位置关系，对四个命题逐一进行判断，由此得出正确的选项.【详解】对于，直线可能在平面内，故错误.对于，两条直线可以相交，故错误.对于，直线可能在平面内，故错误.对于，两条直线可以异面.故没有正确的命题，所以选A.【点睛】本小题主要考查空间直线和直线平行、直线和平面平行的位置关系的判断.可以举出反例，证明命题是错误命题.属于基础题.6D【解析】【分析】画出可行域，通过平移直线，求得的取值范围，由此判断正确选项.【详解】
8、画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值为，在点处取得最小值为.但是由于三条不等式都是没有等号的，故，故，选D.【点睛】本小题主要考查线性规划求目标函数的取值范围.画出可行域后，可将目标函数对应的基准直线平移到可行域边界的位置，注意是纵截距的边界位置，由此求得最大值或者最小值.要注意的是，如果对应的不等式没有等号，则可行域的边界为虚线，不能取到边界值.7A【解析】【分析】椭圆焦点三角形的面积公式为，直接代入公式可求得面积.【详解】由于椭圆焦点三角形的面积公式为，故所求面积为，故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆焦点三角形的面积，椭圆焦点三角形的面积公式为，将题目所给数据代入公式，
9、可求得面积.属于基础题.8D【解析】【分析】画出圆锥的轴截面对应的三角形，由于圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，故球心为三角形的外心，球的半径为三角形外接圆半径.通过正弦定理求得三角形外接圆半径，进而求得球的表面积.【详解】画出圆锥的轴截面对应的三角形如下图所示，由于圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，故球心为三角形的外心，球的半径为三角形外接圆半径.依题意，所以,即三角形为等边三角形，内角为，由正弦定理得，故球的表面积为.故选D.【点睛】本小题主要考查求解几何体外接球的表面积.此类问题的关键在于找到球心的位置.本题是通过对圆锥轴截面三角形的分析得到球心的位置.属于中档题.9D【解析】【
10、分析】三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即，对选项逐一排除，可得到正确选项.【详解】由于三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值，即，显然，当时，符合题意，其它选项不符合.故选D.【点睛】本小题主要考查三角函数的对称轴，三角函数在对称轴的位置取得最大值或者最小值.属于基础题.10B【解析】【分析】二元二次方程是圆的方程，要满足.由于过可以做圆的两条切线，故点在圆外.将点的坐标代入圆的方程，变为关于的一元二次不等式，解这个不等式可求得的取值范围.【详解】由于过可以做圆的两条切线，故点在圆外.将点的坐标代入圆的方程得，即，由于其判别式为负数，故恒成立. 另外二元二次方程是圆的方程，要满
11、足，即，即，解得.故选B.【点睛】本小题考查二元二次方程是圆的方程的条件，考查点和圆的位置关系，还考查了一元二次不等式的解法.属于中档题. 二元二次方程是圆的方程，要满足.而判断一个点和一个圆的位置关系，可将点的坐标代入圆的方程，根据所得的结果来进行判断.11A【解析】【分析】根据椭圆的对称性可知，由此可求得两点的坐标，将坐标代入椭圆的方程，化简后可求得椭圆的离心率.【详解】根据椭圆的对称性可知，故点的坐标为，代入椭圆方程得，故椭圆离心率为.故选A.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的对称性.椭圆是中心对称图形和轴对称图形.要求椭圆的离心率只需要得到或者的一个方程，化简后可以得到
12、离心率.这个属于方程的思想，是三个参数，而椭圆中是固定的，所以再加上一个条件，就可以求得任意两个参数的比值，也可以求得离心率.12C【解析】【分析】令，得到，令，利用导数求得函数在区间上的单调区间，求得最值和端点的函数值，由此求得的取值范围.【详解】函数的定义域为，令，得到，令，当时，即在上单调递增. 当时，即在上单调递减.所以函数在处取得极大值也即是最大值.而，且.故的取值范围是.故选C.【点睛】本小题主要考查利用函数导数，研究函数零点个数问题.本题主要采用的策略是分离常数法，在分离常数后，构造函数，利用函数的导数研究所构造函数的单调性，研究所构造函数的最大值和最小值，由此可求得有两个零点时
13、参数的取值范围.本题属于难题，需要有一定的运算能力和分析求解能力.13【解析】【分析】对平方，然后利用向量数量积的运算公式进行计算，最后开方得到结果.【详解】依题意，所以.【点睛】本小题考查向量数量积的运算，考查向量模的运算的处理技巧.有关向量模的运算，往往是平方后利用数量积的运算公式进行计算，最后开方得到结果.14【解析】【分析】将已知条件和所求用两角和与差的正弦或者余弦公式展开，由此得出结果.【详解】依题意，而所求.【点睛】本小题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查特殊角的三角函数值.属于基础题.15【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个三棱柱构成，根据椎体和柱体的体积公式计算它们的体积，然后相加.【详解】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个三棱柱构成，故体积为.【点睛】本小题主要考查三视图的识别，考查柱体和椎体的体积计算公式.属于基础题，代入公式可得到计算的结果.16【解析】【分析】由，得，分成和两类，用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】由，得.当时，代入.当时，代入.故最小值为【点睛】本小题主要考查基本不等式求最值.基本不等式的公式是，也可以是.本小题所要求的式子中，没有办法直接利用基本不等式来求最小值，需要对已知条件进行变换，然后利用“的代换”，将所求式子变为可以用基本不等式的形式来求得最小值.17（I）.
