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1、构造等差数列或等比数列由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于某些递推数列问题,若能构造等差数列或等比数列,无疑是一种行之有效的构造措施例 设各项均为正数的数列的前n项和为S,对于任意正整数n，均有等式:成立，求的通项a.解:, ,. 即是以2为公差的等差数列，且例 数列中前n项的和,求数列的通项公式.解: 当n2时, 令，则，且 是觉得公比的等比数列,2、构造差式与和式解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的措施就可求得这一数列的通项公式.例3 设是首项为1的正项数列，且,(n）,求数列的通项公式an.解：由题设得. ，.例 数列中，且,(nN*),求通项公式an解:
2、 （nN*)3、构造商式与积式构造数列相邻两项的商式,然后连乘也是求数列通项公式的一种简朴措施例5 数列中，前n项的和，求.解: ，4、构造对数式或倒数式有些数列若通过取对数,取倒数代数变形措施,可由复杂变为简朴，使问题得以解决.例6 设正项数列满足,(n2）.求数列的通项公式解:两边取对数得：,，设，则是以2为公比的等比数列,.,，例已知数列中，,时，求通项公式.解:，两边取倒数得 可化为等差数列关系式. 求数列通项公式的十种措施一、公式法例 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以,得，则，故数列是觉得首项,觉得公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，因此数列的通项公式为。评注：本题
3、解题的核心是把递推关系式转化为,阐明数列是等差数列,再直接运用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。二、累加法例 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则因此数列的通项公式为。评注:本题解题的核心是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。例3 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则因此评注:本题解题的核心是把递推关系式转化为,进而求出，即得数列的通项公式。例4 已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以,得，则,故因此，则评注:本题解题的核心是把递推关系式转化为,进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。三、累乘法例已知数列满足，求数列的通项公式。解:由
4、于，因此，则,故因此数列的通项公式为评注:本题解题的核心是把递推关系转化为,进而求出，即得数列的通项公式。例 （全国I第15题，原题是填空题)已知数列满足,求的通项公式。解:由于因此用式式得则故因此由,，则,又知，则,代入得。因此，的通项公式为评注：本题解题的核心是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的体现式,最后再求出数列的通项公式。四、待定系数法例7 已知数列满足,求数列的通项公式。解：设将代入式,得，等式两边消去,得，两边除以，得代入式得由及式得，则，则数列是觉得首项，以2为公比的等比数列，则,故。评注：本题解题的核心是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公
5、式，最后再求出数列的通项公式。例8 已知数列满足,求数列的通项公式。解：设将代入式，得整顿得。令,则,代入式得由及式,得,则,故数列是觉得首项，以3为公比的等比数列，因此，则。评注:本题解题的核心是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。例9 已知数列满足，求数列的通项公式。解:设 将代入式，得,则等式两边消去，得,解方程组,则,代入式,得 由及式,得则,故数列为觉得首项,以2为公比的等比数列,因此,则。评注：本题解题的核心是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。五、对数变换法例10 已
6、知数列满足，求数列的通项公式。解:由于，因此。在式两边取常用对数得设将式代入式，得,两边消去并整顿，得，则，故代入式,得 由及式，得，则,因此数列是觉得首项，以5为公比的等比数列,则，因此则。评注:本题解题的核心是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。六、迭代法例11 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由于，因此又，因此数列的通项公式为。评注:本题还可综合运用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得,即,再由累乘法可推知，从而。七、数学归纳法例12已知数列满足，求数列的通项公式。解:由及,得由此可猜想,
7、往下用数学归纳法证明这个结论。(1）当时，因此等式成立。(）假设当时等式成立,即,则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（），(2）可知,等式对任何都成立。评注：本题解题的核心是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。八、换元法例1已知数列满足,求数列的通项公式。解：令，则故,代入得即由于,故则，即，可化为,因此是觉得首项，觉得公比的等比数列，因此,则,即，得。评注:本题解题的核心是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。九、不动点法例1 已知数列满足,求数列的通项
8、公式。解：令，得，则是函数的两个不动点。由于。因此数列是觉得首项，觉得公比的等比数列,故,则。评注：本题解题的核心是先求出函数的不动点,即方程的两个根,进而可推出，从而可知数列为等比数列,再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。例 已知数列满足,求数列的通项公式。解：令,得，则是函数的不动点。由于，因此，因此数列是觉得首项，觉得公差的等差数列，则,故。评注:本题解题的核心是先求出函数的不动点,即方程的根，进而可推出,从而可知数列为等差数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。十、特性根法例16 已知数列满足，求数列的通项公式。解：的相应特性方程为,解之求特性根是,因此。由初始值,得方程组求得从而。评注:本题解题的核心是先求出特性方程的根。再由初始值拟定出,从而可得数列的通项公式。
