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1、第一章 矢量与坐标教学目的：1、理解矢量的有关概念，掌握矢量线性运算的法则及其运算性质;2、理解矢量的乘法运算的意义，熟悉它们的几何性质，并掌握它们的运算规律;3、利用矢量建立坐标系概念，并给出矢量线性运算和乘法运算的坐标表示;4、能熟练地进行矢量的各种运算，并能利用矢量来解决一些几何问题。教学重点：矢量的概念和矢量的数性积，矢性积，混合积。教学难点：矢量数性积，矢性积与混合积的几何意义。教学时数：18学时1.11.3 矢量的概念,矢量的加法,数量乘矢量由于这部分内容已下放到高中教材中,学生基本上已掌握,因此我们这里就不作重点讲解,只对某些基本知识作简单复习.1.4 矢量的线性关系与矢量的分解
2、教学要求:掌握矢量线性组合的定义,共线矢量,平面矢量,空间矢量用其基底表示的方法,线性相关,线性无关的概念以及相关的重要定理.前面已学过矢量的加法和数与矢量的乘法,它们称为矢量的线性运算,且我们知道有限个矢量通过线性计算,它的结果仍然是一个矢量,下面首先给出1线性组合定义1.4.1 由矢量与数所组成的矢量称为矢量的线性组合.注:线性组合也可说成线性表示,线性分解,也称为的线性组合.2 线性关系 (1)线性相关和无关性：(定义1.4.2) 对于个矢量,如果存在不全为零的个数,使得： (1.4.1)那么个矢量叫做线性相关。 推论:一个矢量线性相关的充要条件为线性无关, 当且仅当：时 例：判断下列向
3、量组是相关还是无关？ (2)一些基本性质: 定理1.4.1 在时,矢量线性相关的充要条件是其中有一个矢量是其余矢量的线性组合. 证明： 定理1.4.2 如果一组矢量中的一部分矢量线性相关,那么这一组矢量就线性相关.推论:一组矢量如果含有零矢量,那么这组矢量必线性相关. 定理1.4.3 矢量线性相关, 线性无关，则可写成 的线性组合。 即，且系数由唯一确定。3线性组合及关系的几何意义：定理1.4.4 矢量与矢量共线的充要条件和线性相关。 推论：如果矢量,那么可写成的线性组合,即 (1.4-2)并且系数被唯一确定定理1.4.5 三矢量共面的充要条件是它们线性相关 证明： 若与共面 若 由定理1.4
4、.4以及定理1.4.2结论显然。 若不平行如图。 反过来若与线性相关 推论：如果矢量不共线,那么矢量与共面的充要条件是可分解成的线性组合,即 (1.4-3)并且系数被唯一确定这里称为共面(平面)矢量的基底.定理1.4.6 空间任何四个或以上矢量总是线性相关推论：如果矢量不共面,那么空间任意矢量可由线性表示或可分解成的线性组合,即 (1.4-3)并且系数被唯一确定这里称为空间矢量的基底.总结:这一节我们应重点把握好矢量的几个线性分解式和线性相关,线性无关的应用定理例题见书上课堂练习：P24 7，8，9作业:P24,10题1.5 标架与坐标教学要求:了解各种标架的定义,掌握坐标的定义,掌握坐标在标
5、架中各个卦线的符号,掌握矢量的坐标运算.引言前面我们已知道空间中任何矢量可由三个不共面的矢量来线性表示,于是在空间中任取一点O,再引出三个不共面的矢量,那么空间中任何矢量可由线性表示,即 （1）并且这里的是唯一的一组有序实数.我们把的集合称为仿射标架,记作, 称为向量在该标架下的坐标。标架分为右手系和左手系标架.如果 i，j=13 称为直角标架，常用表示空间右手直角坐标系.例： 点关于坐标面、坐标轴、原点的对称点， 设 关于0点的对称点为 关于面的对称点为 关于轴的对称点为1矢量的基本坐标运算 (1) 矢量的坐标分量等于其终点的坐标减去其始点的坐标。.特别称为点的径矢，则(2) ，则(3)设，
6、则 例：用坐标方法证明：四面体对边中点连线交于一点且互相平分 2共线和共面向量的坐标性质(1) 共线 当分母为0时，约定分子也为0推论： 三个点A（），B（）和C（）共线的充要条件是 (2) 三个非零矢量和共面的充要条件是 证明：复习：平面向量共线 四维向量共空间是否可以类似讨论？ 事实上称为三向量张成的有向体积 推论：四个点共面的充要条件是 或 (1.5-7)3定比分点对于有向线段，如果点满足，则称点为的分点（定比分点）定理1.5.6 设有向线段的始点，终点为则分成定比的分点的坐标是 (1.5-8)推论：设，那么线段的中点坐标是 (1.5-9)总结：本节重点掌握用坐标进行矢量的运算，三矢量共
7、面，两矢量共线的条件，有向线段的分点的坐标公式，应注意点和矢量坐标的区别和联系。课堂练习：P33，4，10题作业：P34，7(2),8(2)题例题见书上1.6 矢量在轴上的射影教学要求：了解射影的定义，掌握射影的公式。1 基本概念 点在有向直线上的射影定义：设有空间中的一点和轴，过作垂直轴的平面交与点，则称为在轴上的射影。 矢量在有向直线上的射影矢量及射影：设两点在轴上的射影分别为，则矢量称为在上的射影矢量，记为射影矢量l。规定方向为正向，称线段的有向长度为在上的射影，记为射影l。或，显然上述射影满足： 为方向的单位矢量 矢量在矢量上的射影：设是向量方向的单位矢量，向量，称 为在上的射影记为2
8、 两向量的角规定两矢量夹角在到之间，即，若同向，反向，则，在平面上，还可以定义方向角下面给出射影公式。定理1.6.1 矢量在轴上的射影等于矢量的模乘以轴与该矢量的夹角的余弦：射影lcos, =. (1.6-2)注：定理1.6.2和1.6.3表明矢量的射影满足加法和数乘两种运算。总结：本节内容相对简单，重点掌握矢量在轴上的射影的计算公式。作业：P38，1题1.7 两矢量的数性积 教学要求：掌握两矢量数性积的定义，两矢量垂直的充要条件，数性积的运算律，利用矢量的坐标（分量）表示数性积，两点距离公式，方向余弦，两矢量的夹角余弦。0引言前面我们已学过矢量的加法和数乘运算，这两种运算的结果仍然是矢量，这
9、一节我们将进行两矢量的一种乘积运算，这种运算的结果是一个数，一个非常典型的例子是物理学上一个外力，经过一定的位移所作的功1 定义：两个矢量和的模和它们夹角的余弦的乘积叫做矢量和的数性积（也称内积），记或，即或 注：数性积是一个数，零矢量与任何矢量的数性积为0。由上一节射影公式，=射影a=射影b 若，则，射影e 若，则，记作，为的数量平方。下面给出定理1.7.1 两矢量与互相垂直的充要条件是该定理有许多应用，值得重视。定理1.7.2 矢量的数性积满足下面的运算规律1） 交换律 2） 关于数因子的结合律 3） 分配律 推论：我们在这里指出，矢量的数性积运算可以像数的乘法那样进行。现在给出数性积的坐
10、标表示。定理1.7.3 设那么 (1.7-6)推论：设，那么下面给出几个重要的公式1） 两点距离公式定理1.7.4 设，那么 (1.7-8)定理1.7.5 空间两点间的距离是 (1.7-9)2） 矢量的方向余弦：矢量与坐标轴所成的角叫方向角，而方向角的余弦叫矢量的方向余弦，我们有定理1.7.6 非零矢量的方向余弦是= (1.7-10)=且2+2+2=1 (1.7-11)这里,分别为矢量a与x轴，y轴，z轴的交角，即矢量的三个方向角。特别地，a0=, (1.7-12)3） 两矢量的交角定理1.7.7 设空间中两个非零矢量aX1,Y1,Z1和bX2,Y2,Z2，那么它们夹角的余弦是 (1.7-13
11、)推论：矢量aX1,Y1,Z1和bX2,Y2,Z2相垂直的充要条件是 (1.7-14)平面的两矢量有类似的结论。总结：这一节重点掌握数性积的定义，利用分量表示数性积及其应用。作业：P48，5题例题见书上。1.8 两矢量的矢性积教学要求：掌握矢性积的定义，几何意义，运算律，坐标表示。引言前面已学过数性积，它表示一个数，这一节我们将引入两矢量的饿乘积运算的另一种形式，它的结果是一个新的矢量。首先看一下它的定义：定义1.8.1 两矢量a与b的矢性积（也称外积）是一个矢量，记做，它的模是, (1.8-1)它的方向与a,b都垂直，且按a,b, 的顺序构成右手标架O;a,b, 由平行四边形面积公式，我们有定理1.8.1 两不共线矢量a与b的矢性积的模等于以a与b为边所构成的平行四边形的面积。这个定理刻画了矢性积的饿几何意义。定理1.8.2 两矢量共线的充要条件是=0该定理的应用也相当广泛，需重视。定理1.8.3 矢性积是反交换的，即=-() (1.8-2)定理1.8.4 矢性积满足关于数因子的结合律，即 (1.8-3)推论 设为任意实数，那么 (1.8-4) 定理1.8.5 矢性积满足分配律，即 (1.8-5) 推论 (1.8-6)值得注意的是，矢性积在运算过程中，如果顺序发生改变，一定
