双曲线及其标准方程 (2)

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1、2.3.1双曲线及其标准方程学情分析（一）有利因素 学生通过对椭圆的探究，初步具备了一定的分析与归纳的水平，为本节课的学习奠定了基础。因为双曲线在日常生活中有着广泛的应用，学生具有了一定的好奇心和求知欲，并对双曲线有了一定的感性理解。（二）不利因素 学生对数学图形，符号，文字三种语言的相互转化仍有一定困难。同时受学习椭圆的定势思维，容易混淆两种圆锥曲线的几何量关系（如：标准方程中a，b，c的关系，焦点位置的确定），在教学中引起了高度的重视，并采取了相对应的措施来克服这些不利因素。教学目标（一）知识与技能目标 掌握双曲线的定义，焦点，焦距的概念和标准方程；理解双曲线标准方程的推导；并能初步使用定

2、义和标准方程解决相关问题。（二）过程与方法目标通过多媒体展示，让学生亲自经历双曲线的定义及其标准方程的获得过程，体验数形结合的思想在处理几何问题中优越性；培养学生观察比较、分类讨论、类比的数学思想方法。（三）情感态度与价值观目标通过类比椭圆的研究方法，以及对双曲线定义和椭圆定义的比较，使学生感受到比较法是理解事物掌握其实质的一种有效方法。教学重、难点重点：双曲线的定义及其标准方程。难点：双曲线的标准方程的推导。教学过程设计一、 创设情景，提出问题；1、 回顾椭圆的定义是什么？平面内与两定点F1、F2的距离的和等于非零常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆. 教师板书条件：(1)平面内；(2

3、)两定点F1、F2；(3)椭圆上动点M满足：，2a|F1F2|。 2. 提出问题 前面平面内到两个定点距离之和等于定长的在一定条件下其轨迹是椭圆，那我们把距离之和改为距离之差其轨迹会是什么呢？二、 抽象概括，归纳定义用课件演示作图过程，指出这个条曲线(图A)就是满足：集合的动点M的轨迹。若将上述集合改为 ，比较两集合的关系，取，同理可画出此时动点M的轨迹(图B)。 引导： （1）根据上述绘图原理，双曲线上的动点M应满足什么条件？（2）常数2a与有什么关系？ 教师引导学生观察、分析，并归纳结论： （1）动点M与两个定点F1 ， F2的差的绝对值等于常数。 （2）并鼓励学生根据上述结论大胆归纳出双

4、曲线的定义即为：平面内与两个定点的差的绝对值等于非零常数(小于 )的点的轨迹叫做双曲线。 并引入双曲线焦点和焦距的概念：这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。 教师引导学生进一步分析定义中为什么有差的绝对值？如果没有绝对值会出现什么情况？ 三、 类比探究，建立方程 引导：有了双曲线的定义，类比椭圆的研究思路，接下来该从定义出发推导双曲线的标准方程。 解决方法 先引导学生回顾求曲线方程的一般步骤，然后循此步骤，并类比椭圆标准方程的推导过程，在教师的启发下，由学生自主推导双曲线的标准方程.第一步 建系：建立直角坐标系，使轴经过点，并且点与线段的中点重合.图1第二步 设点： 设是

5、双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，那么，焦点的坐标分别是()、().又设点与的距离的差的绝对值等于常数2 a.第三步 列方程：用坐标法表示条件P（M），列出方程f(x，y)=0，即： 第四步 化简：化方程f(x，y)=0为最简形式. 将方程化简，得 由双曲线的定义可知，即，所以.令，其中，代入上式，得两边除以，得出：第五步 检验： 从上述过程能够看到，双曲线上的任意一点的坐标都满足方程 以该方程的解为坐标的点都在双曲线上。所以，我们称这个方程为双曲 线的标准方程。对此方程要强调：它是双曲线的焦点在轴上的标准方程，焦点是：F1 ()、F2 ()，焦距。并且（，）引导：若焦点在轴上，并且点O与线段

6、的中点重合，的意义同上，双曲线的方程又如何呢 ？ 图2解决方法引导学生观察、比较图1与图2，并根据椭圆的焦点在轴上的标准方程的推导方法，鼓励学生大胆猜想，归纳出：只需将上述标准方程中的 、互换，即：观察上述两个不同的标准方程，思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？解决方法 由学生小组交流，教师对学生的回答实行必要的点评，一定要让学生对上述问题的解答都有明确的理解，并归纳出：由双曲线标准方程确定焦点位置的方法：双曲线的焦点应在系数为正的那一项所对应的坐标轴上。引导：对双曲线和椭圆从定义到标准方程进行类比，总结它们各自的异同。四、 例题剖析，初步应用已知双曲线两焦点的坐标为，双曲线上一点P到、的距

7、离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.解决方法 课本例题，难度不大，但能起到及时对所学概念进行巩固训练的作用。教学中紧扣定义和标准方程的知识.，由学生合作完成，再由学生代表发言，叙述解题过程，教师点评，展示规范的解题步骤，并指出：上述例题的求解运用了求曲线方程的基本方法之一： 待定系数法。解，根据双曲线的焦点在轴上，设它的标准方程（），由得.所求双曲线的标准方程为：.五、 知识整理，纳入系统 1 知识点：(1)双曲线的定义，焦点，焦距的概念。(2)双曲线标准方程两类形式，如何由方程判定其焦点所在坐标轴。(3) 的确定依据。(4)与双曲线定义和标准方程有关的三个常数 间的关系（ 都为正常数，且c最大，结构类似勾股定理： ）2 数学思想： 数形结合、等价转化。 3 数学方法： 观察、比较、概括、归纳、类比分析、待定系数法。六、 分层作业，巩固提高 1 必做题：课本P108习题第1、2、3 (1)、4题2 课后探究题： 在双曲线的定义中有，如果改变常数的范围（2a=，2a=0， 2a），动点的轨迹会发生什么变化呢？