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1、椭圆典型例题分类汇总1. 椭圆第一定义的应用例1 椭圆的一种顶点为，其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的原则方程.例2 已知椭圆的离心率，求的值.例3 已知方程表达椭圆,求的取值范畴.例4 已知表达焦点在轴上的椭圆，求的取值范畴.例 已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程2.焦半径及焦三角的应用例1已知椭圆，、为两焦点，问能否在椭圆上找一点,使到左准线的距离是与的等比中项？若存在，则求出点的坐标;若不存在，请阐明理由.例2 已知椭圆方程,长轴端点为,，焦点为，是椭圆上一点,求：的面积(用、表达）3第二定义应用例1 椭圆的右焦点为,过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标.
2、例已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离.例3已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点(1） 求的最大值、最小值及相应的点坐标；(） 求的最小值及相应的点的坐标4.参数方程应用例1 求椭圆上的点到直线的距离的最小值例 (）写出椭圆的参数方程;（)求椭圆内接矩形的最大面积例3椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点），求其离心率的取值范畴5相交状况下-弦长公式的应用例已知椭圆及直线.（1)当为什么值时，直线与椭圆有公共点?（）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.例2 已知长轴为12,短轴长为6，焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆
3、于,两点,求弦的长6.相交状况下点差法的应用例 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,的斜率为0.5,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程.例2已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程例3 已知椭圆,()求过点且被平分的弦所在直线的方程;（2)求斜率为的平行弦的中点轨迹方程;(3）过引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程;（4）椭圆上有两点、,为原点,且有直线、斜率满足,求线段中点的轨迹方程 例4已知椭圆,试拟定的取值范畴,使得对于直线,椭圆上有不同的两点有关该直线对称.例 已知是直线被椭圆所截得的线段的中点,求直线的方程.椭圆典型例题分类汇总1.椭圆第一定义的应用例1 椭圆
4、的一种顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的原则方程.分析:题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置解:（1)当为长轴端点时，椭圆的原则方程为：；（2)当为短轴端点时,，,椭圆的原则方程为:；阐明:椭圆的原则方程有两个,给出一种顶点的坐标和对称轴的位置,是不能拟定椭圆的横竖的,因而要考虑两种状况.例2已知椭圆的离心率,求的值分析:分两种状况进行讨论.解：当椭圆的焦点在轴上时,，得.由，得当椭圆的焦点在轴上时,得由,得，即.满足条件的或阐明:本题易浮现漏解.排除错误的措施是:由于与9的大小关系不定,因此椭圆的焦点也许在轴上,也也许在轴上.故必须进行讨论例5 已知方程表达椭圆,求的取值范畴解:由得
5、,且满足条件的的取值范畴是,且阐明：本题易浮现如下错解:由得，故的取值范畴是.出错的因素是没有注意椭圆的原则方程中这个条件,当时,并不表达椭圆.例6 已知表达焦点在轴上的椭圆，求的取值范畴.分析：根据已知条件拟定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范畴解：方程可化为由于焦点在轴上，因此因此且从而.阐明：(1)由椭圆的原则方程知,，这是容易忽视的地方（2）由焦点在轴上,知, （3)求的取值范畴时,应注意题目中的条件例5已知动圆过定点,且在定圆的内部与其相内切,求动圆圆心的轨迹方程分析：核心是根据题意,列出点P满足的关系式解:如图所示,设动圆和定圆内切于点.动点到两定点,即定点和
6、定圆圆心距离之和正好等于定圆半径，即点的轨迹是以,为两焦点,半长轴为，半短轴长为的椭圆的方程:.阐明:本题是先根据椭圆的定义,鉴定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的原则方程，求轨迹的方程这是求轨迹方程的一种重要思想措施.焦半径及焦三角的应用例 已知椭圆，、为两焦点,问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中项?若存在，则求出点的坐标；若不存在，请阐明理由解：假设存在,设,由已知条件得,，.左准线的方程是，.又由焦半径公式知：，.，.整顿得.解之得或 另一方面. 则与矛盾,因此满足条件的点不存在例2 已知椭圆方程，长轴端点为,，焦点为，,是椭圆上一点，.求:的面积（用、表达）.分析：求面积要结合
7、余弦定理及定义求角的两邻边,从而运用求面积解:如图，设,由椭圆的对称性,不妨设，由椭圆的对称性,不妨设在第一象限.由余弦定理知: 由椭圆定义知: ，则得 .故 3.第二定义应用例1 椭圆的右焦点为,过点，点在椭圆上,当为最小值时，求点的坐标分析:本题的核心是求出离心率，把转化为到右准线的距离,从而得最小值一般地，求均可用此法.解:由已知:，.因此,右准线过作,垂足为,交椭圆于，故显然的最小值为,即为所求点，因此,且在椭圆上故.因此阐明：本题核心在于未知式中的“2”的解决事实上,如图，,即是到右准线的距离的一半,即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值例2 已知椭圆
8、上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离.分析：运用椭圆的两个定义，或运用第二定义和椭圆两准线的距离求解.解法一：由,得，,由椭圆定义,，得.由椭圆第二定义，为到左准线的距离,，即到左准线的距离为解法二:,为到右准线的距离,，.又椭圆两准线的距离为.到左准线的距离为阐明:运用椭圆的第二定义时,要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义,是从不同的角度反映椭圆的特性,解题时要灵活选择,运用自如.一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义.例3已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上一点(1）求的最大值、最小
9、值及相应的点坐标；（2)求的最小值及相应的点的坐标.分析：本题考察椭圆中的最值问题,一般探求变量的最值有两种措施:一是目的函数当，即代数措施.二是数形结合，即几何措施本题若按先建立目的函数,再求最值,则不易解决;若抓住椭圆的定义,转化目的,运用数形结合,就能简捷求解解：(1)如上图,，,，设是椭圆上任一点，由，,，等号仅当时成立，此时、共线由，等号仅当时成立,此时、共线建立、的直线方程,解方程组得两交点、综上所述,点与重叠时,取最小值,点与重叠时,取最大值.()如下图,设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线,为垂足，由，,由椭圆第二定义知,，要使其和最小需有、共线,即求到右准线距离右准线方程为.到
10、右准线距离为此时点纵坐标与点纵坐标相似为,代入椭圆得满足条件的点坐标.阐明:求的最小值,就是用第二定义转化后,过向相应准线作垂线段.巧用焦点半径与点准距互化是解决有关问题的重要手段.4.参数方程应用例 求椭圆上的点到直线的距离的最小值.分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值.解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为,则点到直线的距离为.当时,阐明:当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.例2 （1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积.分析：本题考察椭圆的参数方程及其应用为简化运算和减少未知数的个数,常用椭圆的参数方程表达曲
11、线上一点坐标,所求问题便化归为三角问题解：(1）(2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴,设为矩形在第一象限的顶点,则故椭圆内接矩形的最大面积为1.阐明:通过椭圆参数方程,转化为三角函数的最值问题，一般地,与圆锥曲线有关的最值问题,用参数方程形式较简便.例3 椭圆与轴正向交于点，若这个椭圆上总存在点，使(为坐标原点）,求其离心率的取值范畴.分析：、为定点，为动点,可以点坐标作为参数，把，转化为点坐标的一种等量关系,再运用坐标的范畴建立有关、的一种不等式，转化为有关的不等式.为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程解:设椭圆的参数方程是,则椭圆上的点，,，即,解得或, （舍去
12、），,又，,又，阐明：若已知椭圆离心率范畴，求证在椭圆上总存在点使如何证明?5.相交状况下弦长公式的应用例1已知椭圆及直线.（1）当为什么值时，直线与椭圆有公共点?(2）若直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程.解:(1）把直线方程代入椭圆方程得 ，即.,解得.（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为,，由（1）得，根据弦长公式得 ：.解得方程为阐明:解决有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的措施与解决直线和圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑鉴别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程.例2 已知长轴为
13、2，短轴长为6,焦点在轴上的椭圆，过它对的左焦点作倾斜解为的直线交椭圆于，两点,求弦的长分析：可以运用弦长公式求得，也可以运用椭圆定义及余弦定理,还可以运用焦点半径来求.解：（法）运用直线与椭圆相交的弦长公式求解.由于,因此由于焦点在轴上，因此椭圆方程为,左焦点,从而直线方程为由直线方程与椭圆方程联立得:.设,为方程两根，因此，, 从而.(法2)运用椭圆的定义及余弦定理求解.由题意可知椭圆方程为，设，则，在中,，即;因此.同理在中,用余弦定理得，因此(法3）运用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程求出方程的两根，它们分别是,的横坐标.再根据焦半径，从而求出6相交状况下点差法的应用例1 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点,为中点,的斜率为0.,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程解：由题意,设椭圆方程为,由,得，,，为所求.阐明：(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2)直线与曲线的综合问题，常常要借用根与系数的
