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1、优选文档第四章正态分布若是将第二章中的（表21）中的数据绘制成直方图，把每个方条顶部中点联系起来，就获取一个图形，它称为频数多边形。（图41）当分组数好多，组距很小时，频数多边形就趋于近似（图42）所示的圆滑的曲线。这类曲线表现出两侧近似对称的钟形。随机变量的近似这类分布，在自然界是相当宽泛的其中最有代表性的是正态分布。下面就来介绍正态分布及其在体育中的几个应用。f10987654321x图41频数多边形图第一节正态分布曲线的形式15若是随机变量X的概率密度函数为y=1e(x)2（x222）（41）则称随机变量X是遵从正态分布的由上式绘出的图形叫做正态曲线。（图42）X的变动范围在至+间。Y0
2、X图42正态分布曲线正态分布曲线中有两个参数：均值及方差2。为了应用方便，对式（41）中的随机变量经过一个称为标准化的变换，即令u来代替原式中的x，寻这时的随机变量u的概率密度函数成为：y=1eu22）22（4依照（42）式绘出的图形，称作标准正态曲线。（图43）Y0.40.30.20.1-3-2-10123图43标准正态分布曲线第二节正态分布曲线的特点正态分布曲线有好多特点，它们对实质工作有很大的帮助。它的主要特点有以下几个方面：一，正态分布的形式是对称的（但对称的分布不用然是正态分布）。在正态分布中均值与中位数相重合。二，从中央最高点逐渐向两侧降低，降低的速度是先慢后快，今后又再次减慢，最
3、后凑近横轴，但终究不能够与横轴订交。三，从中央向两侧逐渐下降，它的方向是先向内弯，达到离均值左右各一个标准差时又改向外弯，是以1的点为曲线从内弯转向外弯的转折点，即正态曲线中标准差与曲线有固定的关系。四，由于正态曲线是对称的，在曲线下不但平均数的两侧面积相等，各相当距离间的面积相等，而且各相当距离间的曲线高度也相等，正态曲线下（与横轴间）的总面积为1.00。五，正态曲线能够有不相同形式，它们的均值和标准差能够不相同，均值不相同表示曲线在横轴上所处地址不相同，标准差不相同表示曲线的形态不相同。标准差小则曲线高、且窄；标准差大则曲线低、且宽。（图44）由式（41）和（42）知，标准正态曲线的=0，
4、=1，即标准正态曲线是关于纵轴对称；它在=0时，有最大值，它近似等于0.4，如（图43）所示。Y=0.5=1=20X图44三种不相同形式的正态分布曲线第三节正态分布表从某市17岁男生中随机抽出205人测量身高，由这个样本计算获取X=168.40厘米，S=6.13厘米。假定该市17岁男生身高遵从正态分布，试估计身高在16.40172.40厘米之间的人数。求解这类问题的一般方法是：求从正态整体中随机采用一个个体的测量值落在区间（a,b）上的概率。这个概率在标准正态曲线下就是曲线、X轴、直线X=a和Xb所围成的面积。（图45）当概率P求得后，要求的人数约等于总人数乘以P值。Y0.40.30.20.1
5、-3-2-10a1b23图45随机变量X在区间（a，b）内取值的概率表示图表的左边第1列这横轴上的地址，它是指横轴上某一点与平均值的距离，以标准差为单位来表示，平时记为u，即u=x（43）表上边的第1行为u值的第2位小数。表的主体部分是各数（u=0）之间所对应的单侧面积（或概率）。u值与均一、知U值求对应的面积例41求u值为1至+2之间对应的面积。解：由于标准正态曲线是关于x=u对称的均数处的u值为零，因此u值在1至0这间对应的面积与它在0至+1之间的对应面积相等。查书后附表1得u值在1至0的对应面积是34.13%；u值在0至+2之间的面积是47.72%。前者在均值的左边，后者在均值的右边，因
6、此这两块面积之和即是所求面积。（图46）即：34.13%+47.72%=81.85%81.85%34.13%47.72%-102=-10+02图46例42本节开始提出的问题，即试估计身高在160.4040厘米之间的人数。解：第一要求出身高为160.40厘米和172.40厘米的u值，按式（43）有（当u和未知时，可用X和S近似代替）：u1=160.40168.40=1.316.13u2=172.40168.40=0.656.13查书后附表1求u1、u2所对应的面积。u1=1.31所对应的面积是40.49%，u2=0.65所对应的面积是24.22%。u值1.31至0.65所对应的面积为40.49%
7、+24.22%=64.71%，见（图47）所示，于是身高在160.40172.40厘米之间的人数约为20564.71%133（人）。24.22%40.49%-1.310.65-2-1012160.40米172.40米图47估计身高在160.40172.40厘米间的人数百分数二、已知面积求对应的U值例43试求从+1向右到什么地址对应的面积为14.15%解：设从态分布表知+1就是u值从0+1向右到+k对应的面积为14.15%。查标准正对应的面积是34.13%。24.13%+14.15%=48.28%，到+k之间对应的面积。查书后附表1和K=2.11，即从+1向右到+2.11之间对应的面积为14.1
8、5%。（图48）从标准正态分布表中，能够找出标准正态曲线下面的分布规律。在下表中列出的五个分布地址与其对应的概率是统计中电子学用到的，应该熟记。+1+2.11图48从+1+2.11对应的面积表41正态曲线下的概率分布u该范围拥有的概率168.26%1.9695.00%295.44%2.5899.00%399.73%第四节统计资料的正态性检验正态分布的理论合用于正态或近似正态分布的资料。对样本要想用正态分布理论进行解析，第一要检验样本可否为正态分布。检验的方法有多种，简单而合用的方法是“概率格纸绘图法”。这类方法使用的概率纸是正态概率纸，它的横轴是一般的刻度，纵轴是按正态分布的规律刻划的。使用时
9、，先依照样本数据求出累计频率，此后依照累计频率和组限，将其点绘在正态概率纸上，若是样本资料是呈正态分布的则所有点几乎在一条直线上。例44广州市某中学初中生800米跑的抽样测试成绩的累计频率以下表所示，试检验该资料可否近似正态分布组限频数累计频数累计频率（%）237110.8244675.6251152217.6258204233.6305276955.2312259475.23192111592.0326612196.8333212398.43402125100.0由样本计算得：X=3032，S=124此后依照每组的下限值和相应的累计频率，将它们分别标在图上。根据点的分布趋势画素来线，观察这些
10、点的分布可否凑近一条直线。在画直线时应以凑近中部的点为主，两端的点为辅，由于中部的点的组频数大，因此占比重也大。由（图49）可见，所有的点几乎都在一条直线上，故该样本资料凑近于正态分布。9995908070605040302015.8710510.11250930280.01237244251258305312319326333图49当样本资料吻合正态分布时，籍助正态概率纸做图，还可以够对和作出近似地估计。从正态分布理论知道累积频率为50%的位置应在中点，即凑近均数地址。从纵轴50%的地址画横线与钭线交于a点，由不得a点向横轴做垂线交于点，其值为3028，即为估计均数，它与计算值3022仅相差
11、05。又知均数减一个标准差地址的面积为34.13%，故在纵轴上的应是50%34.13%=15.87%（b点），以此划横线交于钭线上c点，向横灿做垂线交于2509处，此点距均数的长度应为，故估计标准差的值为：30282509119。计算值为124，仅相差05。只要图做得正确，这些估计值也还是比较精确的。第五可疑数据的舍取在工作中，经常能本料中拥有个突出的数（特大或特小的数）。按本数据系列大小序来看，些突出的数和其他数之有明脱象。种象令人疑些特数可否属于研究的体，于是把些数据称可疑数据。人把来自非同一体的极端，称异常数据。本中的异常数据当及剔除，否会影响本均数和准差等量及算果的正确性。如何判断可疑
12、数据可否异常数据，方法很多，下面介合用于正分布，且数据个数不多，比常用而有效的戈伯斯（Grubbs）法。x1,x2,xn来自正分布的体，将它按大小重新排列，x(1)x(2)x(n)。第一算出可疑数据的gn，其公式：|xx|gn=（44）s式中x表示可疑数据，若算得gn大于（表42）中的界an，x是异常数据，舍弃。若小于界，x正常数据，保留。表42戈伯斯界（an）表=0.05nanannananannnn31.15122.29212.58302.96402.8741.46132.33222.60313.03502.9651.67142.37232.62323.09603.0361.82152.41242.64333.14703.0971.94162.44252.64343.18803.1482.03172.47262.75353.21903.1892.11182.50272.82363.231003.21102.18192.53282.87373.241103.23112.23
