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1、2012年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题(2012年4月7日 星期六 上午9:3011:30)考生注意:用钢笔、签字笔或圆珠笔作答,答案写在答卷上; 不准使用计算器; 考试用时120分钟,全卷满分150分一、选择题:(本大题共4小题,每小题6分,满分24分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1过点的直线与圆相交于两点,其中弦的长为整数的有( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D.4条2设是正及其内部的点构成的集合,点是的中心,若集合,则集合表示的平面区域是( ) A.三角形区域 B. 四边形区域 C. 五边形区域 D.六边形区域3设直线与球有且只有一个公共点,从直线出发的
2、两个半平面截球的两个截面圆的半径分别为1和,二面角的平面角为,则球的表面积为( ) A. B. C. D. 4先后两次抛掷同一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.将a,b, 5分别作为三条线段的长,则这三条线段能构成等腰三角形的概率是( )ABCD二、填空题:(本大题共6小题,每小题6分,满分36分)5某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x%,八月份销售额比七月份递增x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7000万元,则x的最小值是 .6已知函数满足:,则_.7函数y的最大值与最小值的积是
3、_ _ 8若平面区域是一个三角形,则k的取值范围是 9设an是等比数列,公比,Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项,则= .10双曲线与椭圆的焦点相同,若过右焦点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个不同交点,则此双曲线实半轴长的取值范围为 .三、解答题:(本大题共5小题,满分90分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)11(本小题满分15分)已知向量m,n(1)若mn1,求cos 的值;(2)记f(x)mn,在ABC中,角A、B、C的对边分别是a、b、c,且满足(2ac)cos Bbcos C,求函数f(A)的取值范围12(本小题满分15分)三棱柱的直观图及三视图(主视图和俯视 图是正
4、方形,左侧图是等腰直角三角形)如图,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面;(3)求二面角的正切值.ABCD 13(本小题满分20分)如图,曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分,A是曲线和的交点且为钝角,若,()求曲线和的方程;()过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线 依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问 是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由。14(本小题满分20分)已知函数 (I)求的极小值; (II)若上为单调增函数,求m的取值范围; (III)设(e是自然对数的底数)上至少存在一个成立,求m的取值范围。15(本小题满分20分)已知数列满足,()求数列的通项公式;()设,求数列的前项和;()设,数列的前项和为求证:对任意的,2012年广州市高二数学竞赛萝岗区初赛试题 第 4 页 (共 4 页)