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1、立体几何复习专题-空间角之线线角一、基础知识1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a/a，b/b，相交直线ab所成的锐角（或直角）叫做 。2.范围： 3.方法： 平移法、（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。步骤根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角；解含有的三角形，求出角的大小. (常用到余弦定理)余弦定理： (计算结果可能是其补角)（2） 补形法：把空间图形补成正方体、平行六面体、长方体等几何体,以便发现异面直线间的关系（3）三线角公式 用于求线面角和线线角.斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之
2、积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦 即： DCBAC1D1B1A1若 OA为平面的一条斜线，O为斜足，OB为OA在面内的射影，OC为面内的一条直线，其中为OA与OC所成的角，1为OA与OB所成的角，即线面角，2为OB与OC所成的角，那么 cos=cos1cos2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）【典型例题】例1：（1）在正方体中，下列几种说法正确的是 （ ）A、 B、 C、与成角 D、与成角答案：D。解析：A1C1与AD成45，D1C1与AB平行，AC1与DC所成角的正切为。例2:（1）如图，在正方体中，E
3、,FG,H分别为，的中点，则异面直线与所成的角等于（）（2）如图,正四棱柱中,则异面直线与所成角的余弦值为_(3) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA=，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，求BD1与AF1所成的角的余弦值_。ADCB（4）在正四面体A-BCD中，异面直线AB与CD所成角的大小是_.小结：异面直线所成的角求法：平移法 三垂线例:3、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=，BC=,AA1=c，求异面直线D1B和AC所成的角的余弦值。方法一：过B点作 AC的平行线（补形平移法）方法二：过AC的中点作BD1平行线例3、 已知四棱锥的底
4、面为直角梯形，底面，且，是的中点 （）证明：面面；（）求与所成的角；证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 （）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面 又在面上，故面面 （）解：因例4、 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面， 为的中点 求直线与所成角的余弦值；解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则的坐标为、，从而设的夹角为，则与所成角的余弦值为 训练题1异面直线a , b所成的角为，过空间一定点P，作直线L，使L与a ,b 所成的角均为，这样的直线L有 条。 答案：三条。解析：如换成50，70呢。2已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA、PB、P
5、C两两垂直，D是底面三角形内一点，且DPA=450，DPB=600，则DPC=_。答案：600 。解析：以PD为对角线构造长方体3.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。4.正方体中，O是底面ABCD的中心，则OA1和BD1所成角的大小为 。5.已知为异面直线a与b的公垂线，点，若a、b间距离为2，点P到的距离为2，P到b的距离为 ，则异面直线a与b所成的角为 。6如图正三棱柱ABC-A1B1C1中AB=AA1，M、N分别是A1B1，A1C1的中点，则AM与CN所成角为 。7.如图PD平面ABCD,四边形ABCD为矩形，AB=2AD=2DP，E为CD中
6、点。（1）与BE所成的角为 （2）若直线PD，且AF与BE所成角为1. =30行吗？2. =75时；= 。8.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，O为的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，求异面直线OM与BE所成的角 。9.空间四边形ABCD中AB=BC=CD，BCD=ABC=120，ABCD，M、N分别是中点（1）AC和BD所成的角为。（2）MN与BC所成的角为。10.已知正方体AC1中，（1）E、F分别是A1D1，A1C1的中点，则AE与CF所成的角为（2）M、N分别是AA1，BB1的中点，则CM和D1N所成的角是。11、如图，三棱锥PABC中， PC平面ABC，PC
7、=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD平面PAB (I) 求证：AB平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（） 解法一：(I) PC平面ABC，平面ABC，PCABCD平面PAB，平面PAB，CDAB又，AB平面PCB (II) 过点A作AF/BC，且AF=BC，连结PF，CF则为异面直线PA与BC所成的角由（）可得ABBC，CFAF由三垂线定理，得PFAF则AF=CF=，PF=，在中， tanPAF=，异面直线PA与BC所成的角为解法二：(II) 由(I) AB平面PCB，PC=AC=2，又AB=BC，可求得BC=以B为原点，如图建立坐标系则（，），（0，0，0），C（，0），P（，2）， 则+0+0=2 = 异面直线AP与BC所成的角为
