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1、函数的最大值和最小值教学设计 作者简介 廖维猛1998年6月于湖南科技大学数学教育专业本科毕业，同年7月参加教育工作至今；2003年8月湖南师范大学教育管理硕士结业。1998年到2003年担任从初中一年级至高中三年级的数学教学，现一至从事高三数学教学。发表论文有：199911论文架好新旧知识的桥梁省二等奖；20008论文浅谈十字交叉法的引入国家一级论文；20017论文含绝对值函数作图的几种策略公开发表；20017著作高中数理化公式定理定律手册公开销售；20027论文曲线（直线）恒过定点技巧解法市三等奖；200310获雷锋学校青年教师素质比武综合一等奖 承担课题有：参与市级课题分层设问 分组探究
2、已揭题；组织省级重点课题高中数学应用问题实验设计与研究进行中。 教学设计函数的最大值和最小值【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握利用导数求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对导数意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。 【教学重点难点】一、利用导数求函数最值的方法。二、求一些实际问题的最大值与最小值。【教具使用】CAI课件、多媒体辅助教学【课时安排】1课时【教学过程】一、 设置情境，引入课题：观察下面一个定义在区间a，b上的函数f(x)的图像。（如
3、图1）我们知道，图中f(x1)与f(x2)是极小值，f(0)是极大值。在解决实际问题时，往往关心的是函数在指定区间上，哪个值最大？哪个值最小？从图中可以看出，函数在a，b上的最大值是f(b )，最小值是f(x2)。二、 新课探究1 函数最值的概念。定义：可导函数f(x)在闭区间a，b上所有点处的函数值中的最大（或最小）值，叫做函数f(x)的最大（或最小）值。一般地，在闭区间上连续的函数f(x) 在a，b上必有最大值与最小会值。注：在开区间（a，b）内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值。例如f(x)=1/ x在（0，+）内连续，但没有最大值与最小值。2 求可导函数f(x)在a，b上最大值、
4、最小值的方法。结合上图的例子不难看出，只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大（最小）值了。例1 （教材P137 例1）求函数在区间2，2上的最大值与最小值。解：=4x3-4x。令=0，有4x3-4x=0，解得：x=1,0,1当x变化时，y的变化情况如下表：2(2,1)1(1,0)0(0,1)1(1,2)20+00+y1345413从上表可以看出，最大值是13，最小值是4。（如图2）。【解题回顾】设函数f(x)在a，b上连续，在（a，b）内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下：（1） 求f(x)在（a，b）内的极值；（2） 将f(x)的各极值与f(a
5、)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。对应练习：（P138 练习）求下列函数在所给区间上的最大值与最小值。（1）y=xx3,x0,2；（2）y=x3+x2x,x2,1。参考答案：（1）y最大值=， y最小值=6；（2）y最大值=1，y最小值=2。【解题回顾】在求导数在闭区间a，b上最值过程中，判断极值比较麻烦，可改求可导函数在（a，b）内导数为0点函数值，再把这些值与函数在端点的值比较即可。例2 （教材P138 例2）在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时？箱子容积最大？最大容积是多少
6、？解：设箱底边长为x，则箱高h=60-x/2箱子容积V(x)=x2h=(60x2x3)/2(0x,60)V(x)=60x3x2/2令V(x)=0解得：x=0（舍去），x=40，并求得V(40)=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值。答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3。【解题回顾】1求最大（最小）值应用问题的一般方法：（1）分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，并建立函数关系式，这是关键一步；（2）确定函数的定义域，并求出极值点；（3）比较各极值与定义域端点函数值的大小，结合实际问题
7、，确定最大值或最小值点。2在实际问题中，有时会遇到在区间内只有一个点使的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值。这时所说的也适用于开区间或无穷区间。对应练习：（教材P139 例3）本章引言中的问题。圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？（如图4）解：设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得h=，则S(R)= 2R+ 2R2=+2R2令S(R)=+4R=0解得，R=从而h=2即h=2R因为只有一个极值，所以它是最小值。答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省。 三、 反馈练习：1
8、 函数在3，4上的最小值为（ D ） A、64 B、51 C、56 D、612 函数在上的最大值为（ B ） A、2+2 B、4 C、 D、5 3函数在时的最大、最小值分别是。4教材P139 练习1、2。四、课堂小结：（1）利用导数求函数最值的关键是可导函数极值的判定；（2）若连续函数在闭区间上只有一个导数为0的点，且在这一点有极值，则该极值就是函数在上的最值。；（3）导数应用的主要内容之一就是求实际问题的最值，其关键是分清各量间的关系，建立目标函数，在判断函数极值的基础一就可以确定出函数的最值情况。五、作业布置：P140 习题3.9 15。六、教学流程设置情境 引入课题新课探究概念教学 方法归纳知识应用练习巩固课堂小结
