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1、 2022届中考数学解题方法之解推理与证明 推理与证明 一、利用三角形全等证明线段相等和角相等 我们知道假如两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质为我们证明线段相等和角相等供应了方法。 例1 已知：如图，为上一点，点分别在两侧，求证： 分析：从图形中我们发现，ac、cd正好是 abc和cde的对应边，我们只要证明白abc和cde 全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。 题目中的第一个条件：b=e 题目中的其次个条件：，正好分别是等角的边。 这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。 证
2、明：， 在和中， 在上面的证明过程中，我们是怎样书写证明过程的呢？ 上面的证明过程可以分为三局部： 第一局部，使用了一个逻辑推理。，这个推理为后面证明两个三角形全等起到準备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中已经具备了两个，还需要一个条件，这个推理为三角形全等找到了第三个条件。 其次局部，证明两个三角形全等。 第三局部，利用全等三角形的性质，推理得出线段相等。 :学科网zxxk 例2 如图，在等腰梯形中，是的中点， 求证： 分析：从图中我们发现，线段mb，mc可以看成是 abm和cdm的对应边，我们只要证明白abm和cdm 全等就可以证明结论成立。 怎样证明这两个三角
3、形确定呢？我们从已知条件出发，展开联想，寻找出全等的条件即可。 题目中的第一个条件： 在等腰梯形中，ab=cd，a=d 题目中的其次个条件：是的中点am=dm。 这时，三角形全等的条件齐了，可以书写证明过程了。 证明：在等腰梯形中， 是的中点 在和中， （sas） 上面的证明过程可以分为三局部： 第一局部，使用了两个逻辑推理。 在等腰梯形中， 是的中点 这两个推理为后面证明两个三角形全等起到準备条件的作用，也就是说，在证明三角形全等的三个条件中，已知条件中没有给出现成的条件，需要寻找三个条件，这两个推理为三角形全等找齐了三个条件。 其次局部，证明两个三角形全等。 第三局部，利用全等三角形的性质
4、，推理得出线段相等。 例3 已知：如图，四边形abcd中，求证： 分析：根据上面的经验，假如我们能把a，c 看作两个三角形的对应角，我们只需证明两个三角形全等 即可。但是图中没有三角形，怎么办？ 我们可以新增“辅助线”，构造全等三角形。 如图，连线b、d，得到abd和cbd，我们只要能够证明这两个三角形全等就可以了。:学+科+网 显然，已知条件中已经有了两个全等的条件，而我们 新增的“辅助线”正好是两个三角形的公共边，是全等的第 三个条件。这时，两个三角形全等的条件已经具备，我们来书写证明过程： 证明：连线bd 在和中， 另外，我们还可以这样来新增“辅助线”： 如图，连线a、c，得到abc和a
5、cd，我们只要能够证明bad和bcd被ad分成的两局部分别相等就可以了。 题目中的第一个条件：ab=bcbac=bca 题目中的其次个条件：ad=cddac=dca 证明：连结 ，同理 这个证法使用等边对等角，先证明白bad和bcd的两个局部分别相等，又使用等式的性质，证明白bad和bcd整体相等。 例4 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且求证：是的中点. 分析：这个题目要证明d是bc的中点，也就是证明bd=dc， 也是证明两条线段相等，从图中我们可以看出，bd与dc所在的两个三角形abd和acd的形状不同，显然，利用这两个三角形全等来证明bd=dc是不行的。
6、我们再仔细、全面地观察图形，发现aef和dbe的形状、大小一样，这两个三角形有可能全等。 我们从已知条件出发，展开联想： 题目中的第一个条件：是的中点ae=de 题目中的其次个条件： 过点作的平行线交的延长线于，即afbcafe=dbe 题目中的第三个条件：假如af=bd成立，则bd=dc成立。 图中还有一对对顶角。 这时，可以先证aef和dbe全等，得到af=bd，然后根据，可以得到bd=dc了，下面书写证明过程： 证明：是的中点 ae=de afe=dbe 在aef和deb中 aefdeb af=db db=dc 即是的中点 在这个题目中，bd与dc所在的两个三角形abd和acd的形状不同
7、，显然，利用这两个三角形全等来证明bd=dc不行，而发现aef和dbe的形状、大小一样，这两个三角形有可能全等（实际上aef和dbe全等）。在证明白这两个三角形全等后，题目的第三个条件就是一座桥，通过这个条件使证明得以完成。 例5 在梯形abcd中，abcd，a=90， ab=2，bc=3，cd=1，e是ad中点求证：cebe :学科网 分析：如图，要证明cebe，有两种方法： 一是证明bce是直角三角形；二是证明ced+bea=90。 （一）假如证明bce是直角三角形，通常需要使用勾股定理的逆定理来判定。这样就要知道三边ce、be、cd的长度。 我们从已知条件出发，展开联想： 题目中的第一个
8、条件：在梯形abcd中，abcd，a=90d=90 即ecd和eba都是直角三角形。 题目中的其次个条件：ab=2，bc=3，cd=1，这些资料可以帮助我们分别求出ce、be的长度。 题目中的第三个条件：e是ad中点de=ae=ad:z|xx| 在rtecd和rteba中，要分别求出ce、be的长度还需要知道de和ae的长度，而de=ae=ad，因此，需要求出ad的长度。 如图，通过作“辅助线”：过c作cfab，垂足为f，很 简单知道四边形afcd是矩形，cf=ad，cbf也是直角三角形。 我们可以在这个直角三角形中求出cf的长，这样也就知道了da的长，进而de、ae的长也知道了。要求出cf，
9、关键是知道bf=abcd=1。 证明: 过点c作cfab，垂足为f 在梯形abcd中，abcd，a=90， dacfa90 四边形afcd是矩形 ad=cf af=cd bf=ab-af=abcd=1 在rtbcf中，根据勾股定理，得 cf2+bf2=bc2 cf= ad=cf= e是ad中点 de=ae=ad= 在rtabe中，根据勾股定理，得 ae2+ab2=be2 be2=6 同理，ec2 =3， 在bce中，eb2+ ec2=9=bc2 ceb90 即ebec （二）假如证明ced+bea=90，由于题目中给出已知条件是线段的长度，在一般情况下，只知道线段的长度是不能求出ced和 be
10、a的度数，显然不能利用这种方法证明结论成立。 （留意：假如ced+bea+cef+bef=180， 且ced=cef，bea=bef，就可以得到： ced+bea+cef+bef=2（ced+bef）=180 ced+bef=90） 例6 把两个含有45角的直角三角板abc和edc如图放置，点d在bc上，连结be，ad，ad的延长线交be于点f求证：afbe 分析：图中有两个等腰直角三角形，就有许多相等 的线段和角，证明三角形全等比较简单。但是图形比较 複杂，不简单找出全等三角形。 我们从已知条件出发，展开联想： 题目中的第一个条件： 两个含有45角的直角三角板abc和edc ac=bc，cd
11、=ce，abc=dce=90 acd和bce全等 题目中的其次个条件：点d在bc上bc与af相交与dadc=bdf 利用全等三角形对应角相等，可以得到dacebc，再利用对顶角相等，可以知道bfd和acd已经有两个角对应相等，那么第三个角肯定相等。而第三个角中有一个角是直角，那么另一个角也肯定是直角。 证法一：在acd和bce中 acdbce（sas） dacebc adcbdf acd=bfd90 即afbe 我们发现上面使用红字的推理使用了简写，完整的书写应该是： 在acd和bce中 dacebc adcbdf dacadc 180（dacadc）=180（ebcbdf） 即acd=bfd
12、 acd=90 bfd90 即afbe 证法二：在rtacd和rtbce中， acbc dcec， 即tandactanebc dacebc adcbdf ebcbdfdacadc=90 bfd=90 afbe （留意：在直角三角形中，假如两个角的三角函式值相等，那么这两个角也相等。在其它三角形中这个命题则不肯定成立。） 二、与四边形有关的证明 与四边形有关的证明，主要是证明符合条件的图形是我们熟识的特别四边形。这类题目的证明，首先要求我们熟识各种特别四边形的性质和判定，然后根据题目的已知条件选择方法，最后完成证明。 例7 如图，在四边形中，点是线段 上的任意一点（与不重合），分别是 2022年中考数学总複习 解题方法三 推理与证明 推理与证明 一 利用三角形全等证明线段相等和角相等 我们知道假如两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等，对应角相等。全等三角形的性质为.
