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1、人教版高中数学选修22教教案2.2直接证明与间接证明教师版直接证明与间接证明_(1)认识直接证明的一种基本方法综合法、剖析法；(2)认识间接证明的一种基本方法反证法；(3)认识综合法、剖析法、反证法的思虑过程与特色,会用综合法、剖析法、反证法证明数学识题.种类一、直接证明：一.综合法1.定义：从命题的条件出发，利用定义、公义、定理及运算法例，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论建立.2.思想特色：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法3.框图表示：(P表示已知条件、已有的定义、定理、公义等,Q表示要证明的结论)二.剖析法1.定义：一般地,从
2、要证明的结论出发,逐渐追求使它建立的充足条件,直至最后,把要证明的结论归结为判断一个明显建立的条件(已知条件、定理、定义、公义等)为止,这类证明方法叫做剖析法.2.思想特色：执果索因步步追求上一步建立的充足条件，它与综合法是对峙一致的两种方法3.框图表示：(用Q表示要证明的结论,Pn表示充足条件)4.剖析法的书写格式：种类二、反例证法3：求证:3725要证：只需证：反证法：假定数题结论不建立（即命题结论的反面建立） ，经证明 ：因为 3 7和2 5 都是正数，过正确的推理 , 引出矛盾， 所以说明假定错误 , 从而证明原命题建立 ,所以要证 3 7 2 5只需证：这样的的证明方法叫反证法。(
3、3 7)只需证2 (2 5)2明显建立（2）反证法的一般步骤：睁开得 10 2 21 20上述各步均可逆a、反设：假定数题结论不建立（即假定结论的反面建立） ；只需证 21 5,b、归缪：从假定出发，经过推理论证，得出矛盾；只需证 21 25所以,结论建立因为 21 25明显建立，c、下结论：由矛盾判断假定不建立，从而必定数题建立。所以3725 （3）应用反证法的情况：直接证明困难;需分红好多类进行议论结论为“起码”、“至多”、“有无量多个”-类命题；结论为“独一”类命题；（4）重点在于归缪矛盾：a、与已知条件矛盾；b、与公义、定理、定义矛盾；c、自相矛盾。题型一综合法：第1页 / 例1已知a
4、,b,c是不全相等的正数，abbcca求证：lglglglgalgblgc222证明：a,b,cR以上三式相加，且注意到a,b,c不全相等，abbcca故abclglglglglglg222总结：本题主要综合运用基本不等式以及对数的运算性质来证明.例2在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b，c,且A,B,C成等差数列,a,b，c成等比数列,求证ABC为等边三角形.证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C1因为A,B,C为ABC的内角，所以A +B+C=2由 ，得 B=3. 3由 a, b，c 成等比数列，有由余弦定理及，可得2b ac . 4再由，得2 2a c ac ac .所
5、以ac.从而A=C.5由，得A=B=C=.3所以ABC为等边三角形总结:解决数学识题时，常常要先作语言的变换，如把文字语言变换成符号语言，或把符号语言变换成图形语言等还要经过仔细的剖析，把此中的隐含条件明确表示出来练习：1、在ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证ABC为等边三角形.剖析：将A , B , C成等差数列，转变为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为ABC的内角，这是一个隐含条件， 明确表示出来是 A + B + C = ； a , b，c成等比数列， 转变为符号语言就是2b ac 此时，假如能把角和
6、边一致同来，那么就能够进一步找寻角和边之间的关系，从而判断三角形的形状，余弦定理正好知足要求于是，能够用余弦定理为工具进行证明证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C因为A,B,C为ABC的内角，所以A + B + C=由，得B=. 3由 a, b，c 成等比数列，有由余弦定理及，可得2b ac.再由，得2 2a c ac ac .所以ac.从而A=C.由，得A=B=C=.3所以ABC为等边三角形解决数学识题时，常常要先作语言的变换，如把文字语言变换成符号语言，或把符号语言变换第2页证明：假定数题的结论不建立，即“2不可以整除a”。因为a是整数，故a是奇数，a可表示为2m+1（m为
7、整数），则2 m m2 m m 2 m2a ，即(2 1) 4 4 1 2(2 2 ) 12a 是奇数。所以， 2 不可以整除2a 。这与已知“ 2 能整除2a ”相矛盾。于是， “2 不可以整除a”这个假定错误，故2能整除a.例2、在同一平面内，两条直线a，b都和直线c垂直。求证：a与b平行。证明：假定数题的结论不建立，即“直线a与b订交”。设直线a，b的交点为M，a，c 的交点为 P，b，c 的交点为 Q，以下图，则0PMQ 0 。这样MPQ的内角和PMQMPQPQM这与定理“三角形的内角和等于0180 ”相矛盾，这说明假定是错误的。所以直线 a 与 b 不相交，即a与b平行。例3、求证：
8、2是无理数。p证明：2不是无理数，即2是有理数，那么它就能够表示成两个整数之比，设2p0， q且 p，q 互素，则 p 2 q 。所以2 22p q .故2q 是偶数， q 也必定为偶数。设 q=2k，代入式，则有2 4 22p k ，即2 2k 2p ，所以 p 也为偶数。P和q都是偶数，它们有条约数2，这与p，q互素相矛盾。所以，假定不建立，即“2是无理数”。练习：已知， a,b, c (0,1) ，求证： (1 a )b,(1 b)c,(1 c)a 不可以同时大于 14。证法一：假定三式同时大于14，即 11a b ，411b c ，41c a14a,b, c 0,1 ， 三式同向相乘得
9、 11 a b 1 b c 1 c a ，又 6412 1 a a 1a a ，同理 2 411b b ，41c c1411ab1bc1ca，这与假定矛盾，故原命题得证。64证法二：假定三式同时大于14， 0 a 1 1 a 0 ，同理1 b c 1 1 1c a,2 2 2 2,三式相加得3 32 2，这是矛盾的，故假定错误，所以原命题得证1、已知a，b，c是不全相等的正数，求证：第4页证明：2 c2b 2 bc,a0,2c2()ab2abc2a2同理()bc2abc2b2c(a)2abc2 c 2因为 a，b，c不全相等，所以 b 2bc,号，从而、三式也不可以全取“ =”号2 a2c 2
10、 ca,2 b2a 2ab 三式不可以全取“ =”2、已知a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证：2 b c (a b c)2 2a2证明：左右=2（ab+bcac）2a，b，c成等比数列，bacac又a，b，c都是正数，所以0bacac22xxx4223、若实数x1，求证：3(1)(1).x证明：采纳差值比较法：2b2c2d 2 4、已知a,b,c,dR,求证:ac+bd(a)()剖析一:用剖析法证法一:(1)当ac+bd0时,明显建立(2)当ac+bd0时,欲证原不等式建立,只需证(ac+bd)2(a2+b2)(c2+d2)2c22c2d22c2d2d2222即证a+2abcd+
11、ba+a+b+b2c2+a2d2即证2abcdb2即证0(bc-ad)因为a,b,c,dR,所以上式恒建立,综合(1)、(2)可知:原不等式建立剖析二:用综合法222c2d22c22d2c2d2c2d22222222证法二:(a+b)(c+d)=a+a+b+b=(a+2abcd+b)+(b-2abcd+a)2+(bc-ad)2(ac+bd)2=(ac+bd)2bc2d22(a)()|ac+bd|ac+bd故命题得证剖析三 : 用比较法证法三 : (a 2+b2)( c2+d2)-( ac+bd)2+b2)( c2+d2)-( ac+bd)( a 2+b2)( c2+d2) ( ac+bd)22
12、=( bc- ad) 20,2bc2d22(a)()|ac+bd|ac+bd,2bcd222即ac+bd(a)()3+b3a2b+ab2 5、设a、b是两个正实数，且ab，求证：a证明：(用剖析法思路书写)要证 a3+b3a2b+ab2 建立，只需证 (a+b)(a2-ab+b 2) ab(a+b) 建立，即需证 a 2-ab+b2-ab+b2ab 建立。( a+b 0)只需证 a 2-2ab+b2-2ab+b20 建立，即需证 (a-b)20 建立。而由已知条件可知， ab，有 a- b0，所以 (a-b)20 明显建立，由此命题得证。(以下用综合法思路书写)ab，a - b0，(a -b)20，即 a2-2ab+b 20亦即 a 2-ab+b2-ab+b2ab由题设条件知， a+b0，(a+b)(a2-ab+b 2) (a+b)ab第5页即a3+b3a2b+ab2，由此命题得证._基础稳固一、选择题1设ABC的内角A、B、C 所对的边
