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1、线 性 代 数 练 习 一 学号 姓名 一、 填空1、按定义写出一个四阶行列式的的表达式 ，其中一项前面应带的符号为 ，此行列式展开式中共有 项。2、写出四阶行列式按第三列展开的展开式 ，写出按第二、三两行展开的Laplace展开式 ，计算 。3、若阶行列式，则 。4、已知，则中的系数为 。5、设，当 时，线性相关，此时 ，一个极大无关组为 。6、设，当 时2，一个极大无关组为 。7、若，则，的任一个部分组都线性 关。若，则，中任个向量必线性 关。8、设为四阶矩阵，当4时， ，而且的行（列）向量组一定线性 关。当4时，的行（列）向量组一定线性 关。9、设为65矩阵，当5时，的行向量组一定线性
2、关，列向量组线性 关；当4时，的行（列）向量组一定线性 关。10、设非齐次线性方程组的增广矩阵经行初等变换化为,则 时，方程组无解； 时，方程组有唯一解； 时，方程组有无穷多解，此时其导出组的一个基础解系中含 个解向量。二、 计算题1、已知，求：1），2）2、计算四阶行列式：及的第一列元素的代数余子式之和，即。3、已知向量，。证明：向量可由线性表出且表达式唯一，并写出表达式。4、设线性方程组讨论、取何值时，方程组无解、有解；在有解时求出方程组的通解。5、设齐次线性方程组的系数矩阵，讨论当满足什么条件时仅有全零解或有非零解；在有非零解时求出方程组的通解。6、已知，为非齐次线性方程组的三个互不相等
3、的解，该方程组系数矩阵的秩为2，若，。求：方程组（1）的通解。线 性 代 数 练 习 二 学号 姓名 一、填空1、设，则 ， 。2、设，则 ， ， 。3、为四阶矩阵，2，则可逆且 ， ， ， 。（为矩阵的伴随矩阵）4、均为阶矩阵，若，则 ， ， ；又若，则 。5、为阶矩阵，2，1，则 ，的列向量组线性 关。6、为53矩阵，为35矩阵，则为 阶矩阵，且 ， 。二、判断题（在括号内填“”或“”）1、设为阶方阵，若0，则0， （ ）若0，则。 （ ）2、若、均为阶方阵，则（ ）， （ ）， （ ）， （ ）， （ ）。3、均为阶方阵且，则（ ）， （ ），（ ），（ ）。4、若且0，则 （ ）；若且
4、0，则 （ ）。5、若0则0或0 （ ）；若0且为可逆矩阵，则0。 （ ）6、若0则的列向量均为齐次线性方程组0的解。 （ ） 的行向量的转置均为齐次线性方程组0的解。（ ）三、计算题1、求下列矩阵的逆矩阵：1）；2）。其中2）要求用初等变换法求。2、均为三阶矩阵，且1，1； 求：1） 2）3、三阶矩阵、满足，其中，=。求：矩阵。（为矩阵的伴随矩阵）4、1）计算2）设，=，写出初等矩阵，使，并求，。5、设三阶矩阵0，且每个列向量均为齐次线性方程组0的解。 求：1）的值 2）6、三阶矩阵，求：的特征值，线性无关特征向量及全部特征向量。四、阶矩阵满足。求证：可逆，并求。线 性 代 数 练 习 三
5、学号 姓名 一、填空1、已知矩阵，矩阵与相似，则 ，的特征值为 ，的特征值为 ， 。2、设矩阵有特征值0，则 ，其中。3、三阶矩阵特征值为1，2，3，则相似于对角形矩阵，的对角标准形为 ，的分别属于特征值1、2的特征向量，必线性 关；又若实对称矩阵与相似，那么属于1和2的特征向量，必 。4、已知三阶方阵、都不可逆，则的特征值为 ，且的特征多项式为 ， （填能或不能）与对角形矩阵相似。5、三阶实对称矩阵特征值为2，则属于特征值2的线性无关的特征向量必有 个，与相似的对角形矩阵为 ，且 。6、设为三阶实对称矩阵，特征值为2，1，若属于特征值1的一个特征向量为，则属于特征值2的线性无关的特征向量为
6、和 。7、设为四阶矩阵且2，则的伴随矩阵的秩 。8、二次型的矩阵的特征值为，则此二次型在正交变换下化为标准形 ，当（1，2，3）满足条件时 ，此二次型正定；又若的特征值为2，0，3，则此二次型的规范形为 ，此时二次型的秩为 。二、计算题1、设二次型1） 用正交变换法将二次型化为标准形，写出所做正交变换及标准形。2） 用配方法将二次型化为标准形，写出所做可逆线性变换及标准形。3） 此二次型是否正定？说明理由。2、矩阵的一个特征向量为。1） 确定中参数、，并求出特征向量对应的特征值。2） 问矩阵能否与对角形矩阵相似，说明理由。3、已知三阶矩阵能够与对角形矩阵相似。1）、求出矩阵中的值。2）、求可逆矩阵使为对角形矩阵，并写出的对角标准形。4*、三阶实对称矩阵特征值为1，1，属于特征值1的线性无关的特征向量为，。1） 求矩阵属于特征值1的特征向量。2） 求正交矩阵，使为对角形矩阵，并写出此对角形矩阵。3） 求矩阵。
