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1、中国地质大学(武汉)远程与继续教育学院线性代数课程综合测试1学习层次：专升本 时间：90分钟一、填空题(每小题4分，共24分)1已知排列为奇排列，则。2若将阶行列式的每一个元素添上负号得到新行列式，则= 。3设阶方阵满足关系式, 且，则= 。 4设为5 阶方阵，则 。5，且，则 = 。6已知向量组的秩为2，则 。二、单项选择题(每小题4分，共32分)7若行列式，则 。A B C D8对行列式做 种变换不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行9对任意同阶方阵，下列说法正确的是 。A. B. C. D. 10，则 。A B C D11设可
2、逆，则的解是 。A B C D不存在12若向量组线性相关，则它的部分向量组是 。A. 线性相关 B. 线性无关 C. 或者线性相关，或者线性无关 D. 既不线性相关，也不线性无关 13若方程组有无穷多解，则 。A. 必有无穷多解 B. 可能有惟一解 C. 可能无解 D. 以上答案都不对14n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 。A.矩阵A有n个特征值 B.矩阵A有n个线性无关的特征向量C.矩阵A的行列式 |A|0 D. 矩阵A的特征多项式没有重根三、计算题(每小题8分，共40分)15计算行列式：。 16解矩阵方程，求，其中=。17写出方程组的通解。18设向量组线性相关，向量组线性无关，试说
3、明（1）能否由线性表示？（2）能否由线性表示？ 19设方阵与相似，求。四、证明题(本题4分)20设阶方阵满足关系式，证明可逆，并写出的表达式。 答案一、填空题(每小题4分，共24分)1已知排列为奇排列，则。解：可取：5,8或8,5，因为是奇排列，可验证为5,8，其。2若将阶行列式的每一个元素添上负号得到新行列式，则=。 解：即行列式的每一行都有一个(-1)的公因子，所以=。3设阶方阵满足关系式, 且，则= E 。 解：矩阵运算，由于，且，所以有： 。4设为5 阶方阵，则 。 解：由矩阵的行列式运算法则可知：。5，且，则 = -4 。 解： 。6已知向量组的秩为2，则 9/2 。解：利用矩阵的秩
4、求：。二、单项选择题(每小题4分，共32分)7若行列式，则 B 。A B C D解：由于，所以，选（B）8对行列式做 D 种变换不改变行列式的值。A.互换两行 B.非零数乘某一行 C.某行某列互换 D.非零数乘某一行加到另外一行解：A. 行列式变号；B. 相当于该矩阵的非零数倍；C.没有该种变换；D.对，性质6。9对任意同阶方阵，下列说法正确的是 C 。A. B. C. D. 解：转置的性质决定：，选(C)10，则 D 。A B C D解：仅对A作行变换，先作，将第一行加到第三行上，再作，交换一二行。选（D）11设可逆，则的解是 B 。A B C D不存在解：因为，所以选（B）。12若向量组线
5、性相关，则它的部分向量组是 C 。A. 线性相关 B. 线性无关 C. 或者线性相关，或者线性无关 D. 既不线性相关，也不线性无关 解：如线性相关但线性相关，而线性无关，所以选（C）。13若方程组有无穷多解，则 C 。A. 必有无穷多解 B. 可能有惟一解 C. 可能无解 D. 以上答案都不对解：根据线性方程组解的判定定理，可知选（C）14n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 B. 。A.矩阵A有n个特征值 B.矩阵A有n个线性无关的特征向量C.矩阵A的行列式 |A|0 D. 矩阵A的特征多项式没有重根。 解：定理：n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。三、
6、计算题(每小题8分，共40分)15计算行列式：。 解：先提出各列的公因子，再利用展开法则得到原式。16解矩阵方程，求，其中=。解：, 。17写出方程组的通解。解： 。18设向量组线性相关，向量组线性无关，试说明（1）能否由线性表示？（2）能否由线性表示？ 解：（1） 因为线性无关，所以线性无关，而线性相关， 所以可以由线性表示，且表示形式是唯一的。 （2）如果能由线性表示，由（1）知就可以由线性表示， 这与线性无关矛盾，所以不能由线性表示。19设方阵与相似，求解：由与相似可知，的特征值为，于是由性质得，四、证明题(本题4分)20设阶方阵满足关系式，证明可逆，并写出的表达式。 证明：因为， 从而可逆，并且。
