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1、 第 10 讲 排列组合及概率统计基础第10讲 排列组合及概率统计基础 考纲解析 这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要注意审题，题意是可能设置陷阱的地方。对于这类问题，要掌握常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。 排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。 资源链接 本讲对应CIU视频资源：概率论及数理统计.jbl
2、。 本讲内容 10.1 排列组合基础10.1.1 排列的基本概念及实例从n个不同的元素中，任取m(mn)个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。如果元素和顺序至少有一个不同。则叫做不同的排列。元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。排列数的计算公式为（其中mn，m，nZ）。10.1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作7个元素的全排列 = 5040。（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理7654321 = 7！= 5040。（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少
3、种不同的排法？解：问题可以看作余下的6个元素的全排列 = 720。（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有种；第二步，余下的5名同学进行全排列有种，则共有=240种排列方法。（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法一（直接法）：第一步，从（除去甲、乙）其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有种方法；第二步，从余下的5位同学中选5位进行排列（全排列）有种方法，所以一共有=2400种排列方法。对于相邻问题，常采用“捆绑法”，即先绑后松，关键在于怎么选择绑定的对象。解法二：（排除法）若甲站在排头有种方法
4、；若乙站在排尾有种方法；若甲站在排头，且乙站在排尾则有种方法。所以甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有=2400种。10.2 7位同学站成一排。（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法。所以这样的排法一共有=1440种。（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有=720种。（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排
5、头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有种方法；将剩下的4个元素进行全排列有种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有种方法。所以这样的排法一共有=960种方法。解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，若丙站在排头或排尾有2种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有种方法。解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有= 960种方法。10.1.2 组合的基本概
6、念及实例一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号表示。组合数的计算公式为：或 （n，m N*，且mn） 组合数还具有下面的性质：。一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下n - m个元素。因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n - m个元素的每一个组合一一对应，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n - m个元素的组合数，即：。在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。注
7、意利用组合数的这些性质，在使用中往往可以起到简化计算的效果。组合问题的关键在于分类，怎样对情况进行划分。注意这里的不均匀分组和全排列的问题。注：1规定。2等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标。3此性质作用：当时，计算可变为计算，能够使运算简化。例如：=2002。4或。10.3 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球。（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解：（1） （2） （3）可发现：。因为从口袋内的8个球中所取出的3个球，可以分为两类：一类含有1个黑球，一类不含有黑球。因此根据分类计数原理，上述等式成立。一般地，从这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是，这些组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1。含有a1的组合是从这n个元素中取出m -1个元素与a
