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1、初中数学竞赛辅导资料（1）一元二次方程的根一、内容提要1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的实数根，是由它的系数a,b,c的值确定的根公式是：x=.(b24ac0)2. 根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有实数根的充分必要条件是：b24ac0.方程x2+px+q=0有两个整数根p24q是整数的平方数.3. 设x1,x2 是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么 ax2+bx+c=0(a0，b24ac0)； x1=，x2=(a0,b24ac0)； 韦达定理：x1+x2= , x1x2= (a0,b24ac0).二、例题分析已知：a,b,c是实数，且a=b+c+1.求证
2、：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.证明（用反证法）设两个方程都没有两个不相等的实数根，那么10和20.即由得b ，b+1 代入，得ac=b+1，4c4a5 ：a24a+50，即（a2）2+10，这是不能成立的.既然10和20不能成立的，那么必有一个是大于0.方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.本题也可用直接证法：当120时，则1和2中至少有一个是正数.10、已知首项系数不相等的两个方程：（a1）x2(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b1)x2(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正
3、整数)有一个公共根.求a,b的值.解：用因式分解法求得：方程的两个根是a和；方程两根是b和.由已知a1,b1且ab.公共根是a= 或b=.两个等式去分母后的结果是一样的.即aba=b+2, abab+1=3, (a1)(b1)=3. a,b都是正整数，；或.解得；或.例3.已知：m,n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n的值.（1986年泉州市初二数学双基赛题）解：方程两根差是同理方程两根差是依题意，得.两边平方得：m24n=n24m. （mn）(m+n+4)=0mn，m+n+40，m+n4.例4.求证：对于任意一个矩形A，总存在一个
4、矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k1).（1983年福建省初中数学竞赛题）证明：设矩形A的长为a,宽为b，矩形B的长为c,宽为d. 根据题意，得.c+d=(a+b)k, cd=abk. 由韦达定理的逆定理，得c,d 是方程z2(a+b)kz+abk=0的两个根. （a+b）k24abk（a2+2ab+b2）k24abk=k(a2+2ab+b2)k4abk1，a2+b22ab, a2+2ab+b24ab，(a2+2ab+b2)k4ab. 0.一定有c,d值满足题设的条件.即总存在一个矩形B，使得矩形B与矩形A的周长比和面积比都等于k(k1).例5.k取什么整数值时，下列方程有
5、两个整数解？（k21）x26(3k1)x+72=0 ；kx2+(k22)x(k+2)=0.解：用因式分解法求得两个根是：x1=，x2=. 由x1是整数，得k+1=1, 2, 3, 4, 6, 12. 由x2是整数，得k1=1, 2, 3, 6.它们的公共解是：得k=0,2,2,3,5.答：当k=0,2,2,3,5时，方程有两个整数解.根据韦达定理x1,x2,k都是整数，k=1，2.（这只是整数解的必要条件，而不是充分条件，故要进行检验.）把k=1,1,2,2，分别代入原方程检验，只有当k=2和k=2 时适合.答：当k取2和2时，方程有两个整数解.三、巩固练习1. 写出下列方程的整数解： 5x2
6、x=0的一个整数根是. 3x2+(3)x =0的一个整数根是. x2+(+1)x+=0的一个整数根是.2. 方程（1m）x2x1=0有两个不相等的实数根，那么整数m的最大值是.3. 已知方程x2(2m1)x4m+2=0的两个实数根的平方和等于5，则m=.4. 若x y ，且满足等式x2+2x5=0和y2+2y5=0.那么.（提示：x,y是方程z2+2z5=0的两个根.） 5. 若方程ax2+bx+c=0中a0,b0,c0.那么两实数根的符号必是. 6. 如果方程mx22(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m5）x22mx+m=0实数根的个数是（）.(A)2 （B）1 （C）0 （D）不能确定7. 当a,b为何值时，方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0 有实数根？8.求证：方程x22(m+1)x+2(m1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）9、如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：.
