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1、第五、六章 练习题 一、选择题1. 矩阵A=的非零特征值为（）A4 B3 C2 D12. 设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=0，3=2，则秩（A）=（）A0 B1 C2 D33. 设A为n阶正交矩阵，则行列式|A2|=（）A-2 B-1 C1 D24设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为2，2，3. 则|B-1|=（）A B C7 D125设A 为3 阶矩阵，且已知|3A+2E|=0，则A 必有一个特征值为（ ）A B C D6.设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（）A. B.秩（A）=秩（B） C.存在可逆阵P，使P-1AP=B D.E-A=E-B7.与矩阵A=相似的是（）A
2、. B. C. D.8设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）AE-A B-E-A C2E-A D-2E-A9设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（A2）-1必有一个特征值等于（）A B C2D410.下列向量中与=（1，1，-1）正交的向量是（）A. =（1，1，1）B. =（-1，1，1）C. =（1，-1，1）D. =（0，1，1）11已知矩阵A与对角矩阵D=相似，则A2=（）AA BD CE D-E12设矩阵A=，则A的特征值为（）A1，1，0 B-1，1，1 C1，1，1 D1，-1，-113设A为n(n2)阶矩阵，且A2=E，则必有（）AA的行列式等于1
3、 BA的逆矩阵等于ECA的秩等于n DA的特征值均为114.下列矩阵为正交矩阵的是( )A. B.C.D.15.设，为矩阵A=的三个特征值，则=（ ）A.20 B.24 C.28 D.3016.设P为正交矩阵，向量的内积为（）=2，则（）=（ ）A. B.1 C. D.217.二次型f(x1,x2,x3)=的秩为（ ）A.1 B.2 C.3 D.418. 设矩阵A=，则A的线性无关的特征向量的个数是（）A1 B2 C3 D419二次型f（x1，x2）=的规范形是（）A B C D20.设A=，则二次型f(x1，x2)=xTAx是（）A.正定 B.负定 C.半正定 D.不定二、填空题1设向量=（
4、1，2，3），=（3，2，1），则向量，的内积（，）=_.2二次型f (x1,x2,x3,x4)=的正惯性指数为_.3已知矩阵A=的一个特征值为0，则x=_.4设向量=（1，1，1），则它的单位化向量为_.5设A为n阶可逆矩阵，已知A有一个特征值为2，则（2A）-1必有一个特征值为_.6.已知A有一个特征值-2,则B=A+2E必有一个特征值_.7.矩阵A=的全部特征向量是_.8.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似,则=_.9.已知向量=（2，1，0，3）T，=（1，-2，1，k）T，与的内积为2，则数k=_.10.设向量=（b,）T为单位向量，则数b=_.11.已知=0为矩阵
5、A=的2重特征值，则A的另一特征值为_.12.设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3. 则|A+E|=_.13. 设与的内积（，）=2，=2，则内积（2+，-）=_.14设向量_.15已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|= _.16设3阶实对称矩阵A的特征值为1=2=3，3=0，则r(A)= _.设方阵A有一个特征值为0，则|A3|=_.19.设向量（-1，1，-3），（2，-1，）正交，则=_.20.设f(x1,x2,x3)=是正定二次型，则t满足_.21.矩阵A=所对应的二次型是_ _ _18.已知=0为矩阵A=的2重特征值，则A的另一特征值为_.19.二次型的矩阵为_.20.
6、已知二次型f(x1，x2，x3)=(k+1)x+(k-1)x+(k-2)x正定，则数k的取值范围为_.三、计算题1设矩阵A=，求正交矩阵P，使P-1AP为对角矩阵.2利用施密特正交化方法，将下列向量组化为正交的单位向量组：1=， 2=. 3设矩阵A=，求可逆矩阵P及对角矩阵D，使得P-1AP=D.4求矩阵A=的全部特征值及对应的全部特征向量.5.设矩阵A=，（1）求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量.（2）判定A是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵，使得P-1AP=.6.设A=，求An.7设（1）确定的取值范围，使f为正定二次型；（2）当a=0时，求f的正惯性指数p和负惯性指数q.8.用配方法化二次型为标准型，并写出所做的可逆变换。
