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1、高中数学中古典概率应用上之易错处探究一、基本概念(）分类计数原理：（2）分步计算原理:(3)排列:一般地，从个元素中取出个元素(），按照一定的顺序排成一列， 叫做从个元素中取出个元素的一种排列。从个元素中取出个元素（）的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表达，。()组合：一般地，从个不同元素中取出个元素()并成一组，叫做从个元素中取出个元素的一种组合。从个元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表达。 (5)必然事件：在一定的条件下必然要发生的事件。(6）不也许事件：在一定的条件下不也许发生的事件。（)随机事件:在一定的条件下也许
2、发生也也许不发生的事件。(8）在相似的条件下，进行了次实验,在这次实验中,事件发生的次数称为事件发生的频数。比值称为事件发生的频率。（9)一般地,在大量反复进行同一实验时,事件发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的频率，记作，且一次实验连同其中也许浮现的每一种成果称为一种基本领件,一般此实验中的某一种事件由几种基本领件构成,如果一次实验中也许浮现的成果有个,即此实验由个基本领件构成。并且所有成果浮现的也许性相等，那么每一种基本领件的概率都是。如果某个事件涉及的成果有个,那么事件的概率 。 二、重点问题剖析1“有放回摸球”与“无放回摸球”“有放回摸球”与“无放回摸
3、球”重要有如下区别:（1)无放回摸球重要是指每次摸出的球放在袋外，下次再摸球时总数比前次少一；而有放回的摸球是每次摸出一球放在袋内,下次再摸球时袋内球的总数不变。()“无放回摸球”各次抽取不是互相独立的,而“有放回摸球”每次是互相独立的。下面通过一种例题来进一步的阐明“无放回摸球”与“有放回摸球”的区别。例1 袋中有1，2,3，,号球各一种,采用无放回，有放回的两种方式摸球，试求在第次摸球时一方面摸到一号球的概率。解：设为事件“第i次摸到一号球” 。无放回摸球若把次摸出的个球排成一排,则从个球任取个球的每个排列就是一种基本领件,因此基本领件的总数为以数码1,2，中任取个数码的排列数,。下面求事
4、件涉及的基本领件数，事件可分两步完毕：先在第个位置上排上号球，只有一种排法,再在前个位置排其他个球,共有种排法,由乘法原理知,事件涉及的基本领件数为,从而 。有放回的摸球由于有放回摸球,每次袋中均有个球，共摸次,故共有种也许成果，既基本领件总数为。事件可分为两步完毕:前次未摸到号球，共有,于是。分析：对于有放回摸球与无放回摸球题型,在审题时一定要注意是有放回还是无放回,然后根据题意来考虑排列与组合的应用，总之，一定要抓住题目的隐含条件与已知条件的关系,所规定的问题与已知条件之间的连接点,这样才可以不久的解决问题而不至于错误。2.“隔板法”隔板法是插空法的一种特殊状况,它的使用非常广泛,能解决一
5、大类组合问题。下面用一种具体的例子来阐明它的使用的优越性。例2 将9个相似的小球放到六个不同的盒子里，每个盒子至少放一种球，有多少种不同放法。解法一：先在盒子里各放一种球,再把剩余的个球放到6个盒子里,分三类: 个球放到一种盒子里,有种放法; 3个球放到两个盒子里，球数分别为2，1,共种放法； 3个球放到3个盒子里，每个盒子各一种球，共种放法。根据分类计数原理,共有种放法。解法二(隔板法）:把6个盒子看做由平行的7个隔板构成的，每一种满足规定的放法、相称于9个小球和个隔板的一种排列,其中2个隔板在两头，任何个隔板之间至少有1个球（既任何2个隔板不相邻)，把两头的2个隔板拿掉,每一种满足规定的放
6、法还相称于再排成一列的9个小球间8个空档中插入5个隔板,不同的放球措施即插隔板的措施，共有种。分析：对于用隔板法解决概率问题，一般都是将问题的思考角度进行转化，使问题从多向思维向单一思维转化,然后把问题的本质找出来进行剖析,问题自然就较好理解了。上述解法2应用了相应的措施,转化为插空问题，计算比较简朴，但不易理解,等理解透彻后，就会发现隔板法是非常好用的,是具有普适性的措施。但一定要注意的是应用此法的前提是小球是完全相似（不加辨别），盒子是不同的，每个盒子至少放一球。例 要从高一年级8个班中产生2学生代表,每个班至少产生一名代表,则代表名额的分派的方案至少有多少种？解：这个问题如果用原始的措施
7、来分析,是比较麻烦的额，但如果转化问题的角度,用“隔板法”来理解,这个问题就容易解决了。把1个名额看做1个相似小球，8个班看做8个不同的盒子，用隔板法懂得名额分派措施共有种。 3. 分组问题分组问题时排列组合中的一种难点,重要有如下两种状况。（1)非平均分组问题在非平均分组问题中，不管是给出组名或不给出组名，其分组的措施相似。例4 把12人提成如下三组,分别求出如下多种分组的措施数：提成甲、乙、丙三组，其中甲组7人、乙组3人、丙组2人。提成三组，其中一组人、一组人、一组2人。解：先从2人中任选人为甲组,余下5人中任选3人为乙组,剩余2人为丙组,则共有种不同的措施。先从12人中任选7人为一组有种
8、选法,再从余下5人中任选3人有种选法,剩余的两人为一组，共有种不同的选法。分析:在第一种问题中，学生很容易受到干扰，就是对于甲、乙、丙三组，和提成三组时否需要乘以的问题。但是由于各组的人数不同，这个问题属于非平均分组问题,虽然第一小问给出了分组的名称,但是这个并不影响最后的成果,它们的分组措施都是同样的。(2）平均分分组问题。分析：上面的非平均分组问题中,与否给出组名对成果没有影响,但在平均分组问题中一定要注意问题与否给出了具体的组名,它们的成果是不同的。 例5 有6本不同的书,按下列规定分派,各有多少种分发。分给甲、乙、丙三人,每人本；平均提成三份。解：从本书中任取2本给一种人，再从剩余的4
9、本中取本给此外一种人，剩余的2本给最后一种人，共有种分法。设平均提成三堆有x种分法，在分给甲乙、丙三人每人各2本，则应有种分法。因此有 种不同的分法。阐明：上面例子中可以看出：两个问题都是提成三堆，每堆两本,属于平均分组问题，而(1）分到甲、乙、丙三人，属于到位问题，相称于给出了甲、乙、丙三个指定的组，但（2）没有给出组名,因而是不同的。规律:一般地,把个元素平均分到个不同的位置，有种措施，把个不同元素平均提成组有种分法。4 圆排列与反复组合问题（1)圆排列定义:从个不同的元素中任取个,按照一定的顺序排成圆形,叫做一种圆排列。定义2：从个不同的元素中取出个元素的所有圆排列的个数,叫做圆排列数,
10、用符号表达。例6 5个朋友坐在圆桌周边时,席位排列措施有几种?解:设5个人分别为a,b,c,，把她们排成一排时，排列的数目是5!,排成圆形时，像下图那样只是转了一种地方的排法被看做是同样的,因此根据乘法原理得： 因此 答：席位的排列措施有4种。命题1： n个不同的元素的圆排列数。例7 有6名同窗做成一圆圈做游戏，有多少种做法？解:据命题一，种。答:共有10种。命题2:从个元素中取出个元素的圆排列数。证明：从个不同元素中取出个元素的组合数为种,而将这个元素排成圆形由命题1共有种措施,于是由乘法原理得 .(）反复组合定义3：从个不同的元素中任取个元素,元素可以反复选用,不管如何的顺序并成一组,叫做
11、反复组合。定义:从个不同的元素中取出个元素的所有反复组合的个数,叫做反复组合数，用符号表达。例8 有5个数1，2，3，4，5，同一种数容许选用任意次，求从中选出个的反复组合数。解：如果从5个中选出3个时,选的都是不同的数，那么很明显组合数为，但是同一种数容许选用任意次,因此像（1，1，1）,（1，2，1),(4,4，5）,的组合也应在算内,因此要想措施,把问题转化成选用的全是不同元素的问题,为了把上述（1，1,1),（1,2,1)，（4，4，5)改成全是不同的数，先把这些数按从小到大的顺序排列起来得到（，,），(1,2，1),(，5）。然后第一种数不 变，在第二个数上加1，在第三个数上加，这就
12、变成：（1，2，3),(1，2,4)，（，）。一般地,可以证明左右两边是一一相应的（左右各有一组互相相应，一组不能和两组以上相应)。这样,中虽然有相似的元素，在上述的一一相应中，也可以变化成没有相似的元素组，因此从整体上来说,成果就成了从1，2,3,4,5，6，的7个数中选用3个不同的元素的组合问题了，即 。答：从1,2，4,中选用3个数的反复组合数为5。命题：从n个不同的元素中选用出个元素的反复组合数为 。例9 从3，5,7，11这4个质数中任取两个相乘,同一种数容许反复使用，可以得到多少个不相似的乘积?解:根据命题3有:个。答:可以得到10个不相等的乘积。分析:圆排列和反复组合问题时高考中
13、的难点,学生在平时的理解过程中往往也存在诸多的理解上的问题，重要是由于她们在平时的训练当中已经习惯性的接受了全排列和不反复组合的诸多的例题,导致了思维的本能反映而导致错误，教师在解说这两个知识点的时候最佳可以重新给学生建立相应的知识体系,在讲完这一种知识点后来再与前两个知识点进行相应的对照理解和学习,这样也许更好的增进教学，学生也可以较好的接受。5.连排与间隔排(1)排列中的“连排”问题(我们称规定某些元素必须排在一起的排列问题为“连排”问题）:例0 某班有学生3人，其中男生2人,女生14人,现将她们排成一排,女生必须排在一起的排法有多少种?我们称规定某些元素必须排在一起的排列问题为“连排”问
14、题。解:由于4名学生必须排在一起,因此我们可以将1名学生当作1个“人”，把8人的排列问题当作4125人的问题，共有种，再考虑到14名学生之间的排法,因此女生必须排在一起的排法种数为种。一般地,在个不同的元素中,某个元素排在一起的排法种数有种。例11 某班有名同窗，其中第一组的12名同窗必须排在一起且第一组中的5名女同窗又必须排在一起的排列措施有多少种？解:将第一组的1名同窗当作一种“人”。将38名同窗的排列问题当作7人的排列的问题，共有排法种，再考虑到12名同窗的排列措施，根据例1，可知第一组的2名同窗规定名女生排在一起的排法共有种。因此总的排法种数有种。命题4:一般地，个不同元素的排列中，某个元素必须排在一起的且在这个元素中的某个元素有必须排在一起的排法共有种。分析:“连排”问题的类型诸多，不也许一一例举,解决“连排”问题的基本措施,就是将规定排列在一起的元素当作一种整体，将它作为一种元素放到问题中去解决，之后再考虑这个整体的内部排列。(2）“间隔排”问题我们称规定某些元素中的任何两个都不能排列在一起的排列问题为“间隔排”问题。例2 某班有59名同窗，其中第一小组有4名，现将她们排成一排且规定第一小组的任何两名同窗都不排在一起的排法有多少种?解:一方面将不规定间隔的同窗先排列有种排法，然后再将规定间隔排的同
