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1、第十二章 复 数1.（2003京春文7，理3）设复数z1=1+i，z2=i，则arg等于（ ）A. B. C. D.2.（2003上海春，14）复数z=（mR，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.（2002京皖春，4）如果（，），那么复数（1i）（cosisin）的辐角的主值是（ ）A.B.C.D.4（2002全国，2）复数（i）3的值是（ ）A. iB.iC.1D.15.（2002上海，13）如图121，与复平面中的阴影部分（含边界）对应的复数集合是（ ）图1216.（2001全国文，5）已知复数，则arg是（ ）A. B
2、.C.D.7.（2000京皖春文，11）设复数z11i在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，令对应的复数z2的辐角主值为，则tan等于（ ）A.2 B.2 C.2D.28.（2000全国，2）在复平面内，把复数3i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ）A.2 B.2i C.3i D.3+i9.（2000上海理，13）复数z（i是虚数单位）的三角形式是（ ）A.3cos（）isin（）B.3（cosisin）C.3（cosisin）D.3（cosisin）10.（2000京皖春，1）复数z13i，z21i，则zz1z2在复平面内的对应点位于（ ）A.第一象限 B.第二
3、象限 C.第三象限 D.第四象限11.（2000京皖春理，11）设复数z12sinicos（在复平面上对应向量，将按顺时针方向旋转后得到向量，对应的复数为z2r（cosisin），则tan等于（ ）A.B. C.D.12.（1998全国，8）复数i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是（ ）A. B. C. D.13.（1996全国，4）复数等于（ ）A.1+i B.1+i C.1i D.1i14.（1994上海，16）设复数z=i（i为虚数单位），则满足等式zn=z且大于1的正整数n中最小的是（ ）A.3 B.4 C.6 D.715.（1994全国，9）如果复数z满足|z+i|+|zi|=2
4、，那么|z+i+1|的最小值是（ ）A.1 B. C.2 D.二、填空题16.（2003上海春，6）已知z为复数，则z+2的一个充要条件是z满足 .17.（2002京皖春，16）对于任意两个复数z1x1y1i，z2x2y2i（x1、y1、x2、y2为实数），定义运算“”为：z1z2x1x2y1y2设非零复数w1、w2在复平面内对应的点分别为P1、P2，点O为坐标原点如果w1w20，那么在P1OP2中，P1OP2的大小为 18.（2002上海，1）若zC，且（3z）i1（i为虚数单位），则z 19.（2001上海春，2）若复数z满足方程i=i1（i是虚数单位），则z=_.20.（1997上海理，
5、9）已知a=（i是虚数单位），那么a4=_.21.（1995上海，20）复数z满足（1+2i）=4+3i，那么z=_.三、解答题22.（2002上海春，17）已知z、w为复数，（13i）z为纯虚数，w，且|w|5，求w23.（2002江苏，17）已知复数z1i，求实数a，b使az2b（a2z）224.（2001京皖春，18）已知z71（zC且z1）.（）证明1zz2z3z4z5z60；（）设z的辐角为，求coscos2cos4的值.25.（2001全国理，18）已知复数z1i（1i）3.（）求argz1及|z1|；（）当复数z满足|z|1，求|zz1|的最大值.26.（2001上海理，20）对
6、任意一个非零复数z，定义集合Mzw|wz2n1，nN（）设是方程x的一个根，试用列举法表示集合M；（）设复数Mz，求证：MMz27.（2001上海文，20）对任意一个非零复数z，定义集合Mzw|wzn，nN（）设z是方程x+=0的一个根，试用列举法表示集合Mz若在Mz中任取两个数，求其和为零的概率P；（）若集合Mz中只有3个元素，试写出满足条件的一个z值，并说明理由28.（2000上海春，18）设复数z满足|z|5，且（34i）z在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上，|zm|5（mR），求z和m的值.29.（2000上海理，22）已知复数z01mi（M0），zxyi和xyi，其中x，y
7、，x，y均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有，|2|z|（）试求m的值，并分别写出x和y用x、y表示的关系式；（）将（x，y）作为点P的坐标，（x，y）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由.30.（1999全国理，20）设复数z3cosi2sin.求函数yargz（0）的最大值以及对应的值.31.（1999上海理，19）已知方程x2（4
8、i）x4ai0（aR）有实数根b，且z=a+bi，求复数（1ci）（c0）的辐角主值的取值范围.32.（1999上海文，19）设复数z满足4z+2=3+i，=sinicos（R）.求z的值和|z|的取值范围.33.（1998上海文，18）已知复数z1满足（z12）i=1+i，复数z2的虚部为2，且z1z2是实数，求复数z2的模.34.（1998上海理，18）已知向量所表示的复数z满足（z2）i=1+i，将绕原点O按顺时针方向旋转得，设所表示的复数为z，求复数z+i的辐角主值.35.（1997全国文，20）已知复数z=i，w=i，求复数zw+zw3的模及辐角主值.36.（1997全国理，20）已
9、知复数z=i，=i.复数z，z23在复数平面上所对应的点分别是P、Q.证明：OPQ是等腰直角三角形（其中O为原点）.37.（1997上海理，20）设虚数z1，z2满足z12=z2.（1）若z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1、z2；（2）若z1=1+mi（m0，i为虚数单位），=z22，的辐角主值为，求的取值范围.38.（1996上海理，22）设z是虚数，w=z+是实数，且12.（）求|z|的值及z的实部的取值范围；（）设u=，求证：u为纯虚数；（）求wu2的最小值.39.（1995上海，22）已知复数z1、z2满足|z1|=|z2|1，且z1+z2=i.求z1、z2的值.40.
10、（1995全国文，22）设复数z=cos+isin，（，2）.求复数z2+z的模和辐角.41.（1995全国理，21）在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O（其中O是原点），已知Z2对应复数z2=1+i，求Z1和Z3对应的复数.42.（1994全国理，21）已知z=1+i，（）设w=z2+34，求w的三角形式.（）如果=1i，求实数a，b的值.43.（1994上海，22）设w为复数，它的辐角主值为，且为实数，求复数w.答案解析1.答案：B解析一：通过复数与复平面上对应点的关系，分别求出z1、z2的辐角主值.argz1=，argz2=.所以arg0，2），arg
11、.解析二：因为.在复平面的对应点在第一象限.故选B评述：本题主要考查复数的运算法则及几何意义、辐角主值等概念，同时考查了灵活运用知识解题的能力，体现了数形结合的思想方法.2.答案：A解析：由已知z=（m4）2（m+1）i在复平面对应点如果在第一象限，则而此不等式组无解.即在复平面上对应的点不可能位于第一象限.3.答案：B解析：（1i）（cosisin）（cosisin）（cosisin）cos（）isin（）（，） （，）该复数的辐角主值是4.答案：C解法一：（i）3（cos60isin60）3cos180isin1801解法二：，5.答案：D6.答案：D解法一：解法二： 应在第四象限，tan
12、，argarg是7.答案：C解析：argz1，argz2tantantan75tan（4530）8.答案：B解析：根据复数乘法的几何意义，所求复数是9.答案：C解法一：采用观察排除法.复数对应点在第二象限，而选项A、B中复数对应点在第一象限，所以可排除.而选项D不是复数的三角形式，也可排除，所以选C.解法二：把复数直接化为复数的三角形式，即10.答案：D解析：11.答案：A解析：设z12sinicos|z1|（cosisin），其中|z1|，sin（）z2|z1|cos（）isin（）r（cosisin）tan12.答案：D解法一：i=cos+isini的三个立方根是cos（k=0，1，2）当
13、k=0时，；当k=1时，；当k=2时，.故选D.解法二：由复数开方的几何意义，i与i的另外两个立方根表示的点均匀地分布在以原点为圆心，1为半径的圆上，于是另外两个立方根的虚部必为,排除A、B、C，选D.评述：本题主要考查了复数开方的运算，既可用代数方法求解，也可用几何方法求解，但由题干中的提示，几何法解题较简捷.13.答案：B解法一：，故（2+2i）4=26（cos+isin）=26，1，故.于是,所以选B.解法二：原式=应选B解法三：2+2i的辐角主值是45，则（2+2i）4的辐角是180；1i的一个辐角是60，则（1i）5的辐角是300，所以的一个辐角是480，它在第二象限，从而排除A、C、D，选B.评述：本题主要考查了复数的基本运算，有一定的深刻性，尤其是选择项的设计，隐藏着有益的提示作用，考查了考生观察问题、思考问题、分析问题的综合能力.14
