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1、不定积分、二元函数的定义域、极限、方向导数和梯度一、定积分及应用了解定积分的概念；知道定积分的定义、几何意义和物理意义；了解定积分的主要性质，主要是线性性质和积分对区间的可加性，( 为常数 )还应熟悉以下性质例题：1利用定积分的几何意义，说明下列等式：解答：（1） 表示的是：由轴，直线和直线所围成的三角形的面积是1。（2） 表示的是：由轴，曲线和直线所围成的图形上下的面积相等。2根据定积分的性质，说明下列积分哪一个的值较大：解答：（1）因为在区因为在区间0，1上，因此有：（2）在区间1，2上，因此有：了解原函数存在定理；会求变上限定积分的导数。若，则熟练掌握牛顿莱布尼茨公式，换元积分法和分部积
2、分法。例题：估计积分的值：解答：，因此2.计算. 解答：了解广义积分的概念；会判断简单的广义积分的收敛性，并会求值。当时收敛，当时发散；当时收敛，当时发散。掌握在直角坐标系下计算平面曲线围成图形的面积；会计算平面曲线围成的图形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积。由曲线和及直线围成的面积，有对于对称区间上的定积分，要知道当为奇函数时有当为偶函数时有例题：1.计算正弦曲线y = sinx在0,p 上与x轴所围成的平面图形的面积.解答：.2计算对弧长的曲线积分其中L是抛物线上的点（0，0）与点之间的一段弧.解答：解答：练习：求椭圆所围成的图形面积.答案：。6.理解二重积分的定义、几何意义；会计算二重积分例
3、题：计算二重积分：(1)其中D是由直线、所围成的闭区域；(2) 其中D是由圆周所围成的闭区域.解答：（1）（2）二、二元函数的定义域要求：会求二元函数的定义域例题：1求下列各函数的定义域：解答：（1）要使函数有意义必须满足：，这样函数的定义域为：（2）要使函数有意义必须满足：即练习：求函数的定义域。答案：2解答：将分别代替原函数自变量的位置，通过计算我们得到：原式=3解答：将分别代替原函数自变量的位置，通过计算我们得到：原式=练习：设=？答案：。三二元函数的极限从形式上讲，一元函数与二元函数的极限没有多大区别。是指，对于任意给定的正数，总存在正数，当时，恒有是指，对于任意给定的正数，总存在正数
4、，当时，恒有。但是在二元函数的极限中要比一元函数极限中复杂的多，对，x趋向的方式虽然是任意的，但它毕竟是在x轴上变化而已，可是对，P趋向的任意方式却是在平面上变化，因此要比多样化。例如：沿着所有过的直线趋向是的一种特殊方式，又例如沿着所有过的抛物线趋向也只是的一种特殊方式，还有其他的的方式，这就一元函数与二元函数的极限的重要区别。例题：1.求极限： 解答：（1）原式= （2）此题与上题不一样，因为当时，分母趋于零，所以我们需要先对y求导，即 。练习： 答案：（1）1；（2）ln2；（3）（4）（5）先对x, 后对y求导，然后可算出：分别为2，四、方向导数和梯度定理：若函数在点可微，则在点处沿任
5、意方向的方向导数都存在，且+，其中，为方向余弦。对于二元函数来说，相应的结果是+，其中是平面向量的方向角。梯度的定义：若函数在点存在对所有自变量的偏导数，则称向量（， ）为函数在点的梯度，记作：（， ）向量的长度（或模）为 例题：1求函数在点（1，2）处沿从点（1，2）到点的方向的方向导数.解答：方向=，易见在点（1，2）可微，故由，及方向的方向余弦：，所以函数在点（1，2）处沿从点（1，2）到点的方向的方向导数为（）=2问函数在点（1，1，2）处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解答：因为在点的梯度方向是的值增长最快的方向，且沿这一方向的变化率就是梯度的模，又， ，所以是方向导数取最大的方向，此方向导数的最大值是。练习：函数在点（1，1）处沿从点（1，1）到点（3，2）方向的方向导数解答：
