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1、第六章 梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移、梁的变形1. 挠曲线 平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的。2. 弯曲变形 以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为 (61)式中，为弯矩，为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x的函数，曲率
2、与弯矩成正比。、梁的位移 1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w表示。表示挠度随横截面位置x变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程在图6-1所示坐标系中，w向下为正，向上为负。2.转角横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用表示。在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角也为x轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。(图6-1)，在图6-1所坐标系中，以顺时针转向为正，反之为负。在小变形的情况下，转角等于挠曲线在该点处的斜率，即、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的
3、大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。二、挠曲线的近似微分方程及其积分、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为在小变形时，于是将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为 (62)、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得再积分一次得式中，和为积分常数，由梁的位移边界条件确定。当梁上的弯矩需要分段列出时，挠曲线的近似微分方程也应分段建立，分别积分两次后，每一段有两个积分常数，确定积分常数除了应用位移边界条件外，还需应用位移连续条件。为了简化计算，在运算中需要采取一些技巧(见教材例7-2)。三、用叠加
4、法计算梁的位移、叠加原理 在线弹性范围内，小变形情况下，梁在若干个荷载共同作用下任一横截面的位移，等于梁在各个荷载单独作用下的位移之和。、要求 利用梁在简单荷载作用下的位移值(见教材表7-1)，确定梁在若干个荷载共同作用下的位移值。叠加法计算梁的位移是本章的重点和难点，要求熟记表7-1的结果，并通过作练习题，掌握利用叠加法计算梁位移的技巧。四、梁的刚度条件 提高梁刚度的措施、刚度条件 梁的刚度条件为梁的最大挠度与跨长的比值不得超过规定的许可值，梁指定截面的转角不得超过规定的许可值，即， (63)、提高梁刚度的措施 1. 增大梁的弯曲刚度EI。选择适当的截面形状，增加截面对中性轴的惯性矩。2 .
5、 减小梁的跨度或增加支承。五、弯曲应变能等直梁平面弯曲时，在弹性变形过程中梁内所积蓄的能量，称为弯曲应变能，纯弯曲和横力弯曲时的应变能分别为， (64)本章只需掌握弯曲应变能的概念，其应用将放在能量方法一章中。六、超静定梁、超静定的概念梁的约束反力数目超过了平衡方程式的数目，这种梁称为超静定梁。多于维持平衡所必要的约束，称为多余约束，相应的约束反力为多余未知力，多余约束数目或多余未知力数目为超静定次数。、超静定梁的解法 解除多余约束使梁成为静定梁，此梁称为原超静定梁的基本系统 (或称为静定基)。基本系统在荷载及多余未知力作用下，满足多余约束所提供的位移条件。这样的静定梁称为原超静梁的相当系统，
6、求出多余未知力后，利用相当系统来完成对原超静定梁的一切计算。例6-1 用积分法计算图示各梁的位移时，各需分几段列挠曲线的近似微分方程？各有几个积分常数？并写出其确定积分常数的位移边界和连续条件。解：图a 分AC、CB两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为，位移连续条件为时，图b 分AB、BC两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为，位移连续条件为时，图c 只需列AB段挠曲线的近似微分方程，共有两个积分常数。位移边界条件为，图d 分AB、BC两段列挠曲线的近似微分方程，共有四个积分常数。位移边界条件为时，位移连续条件为时，图e 分AB、BC和CD三段列挠
7、曲线的近似微分方程，共有六个积分常数。位移边界条件为时，位移连续条件为，时，中间铰B处，挠曲线连续但不光滑，即中间铰两侧面的挠度相同，但转角不等。例6-2 试绘出图示各梁挠曲线的大致形状。解：绘制挠曲线大致形状的步骤为：首先绘制弯矩图，弯矩为正的区段，挠曲线为下凸曲线；弯矩为负的区段挠曲为上凸曲线，弯矩等于零的区段，挠曲线为直线段。弯矩等于零的点处，且其左右两侧的弯矩异号，或弯矩有突变的点处，且其左右两侧的弯矩异号，挠曲线上有拐点。弯矩值大的地方挠曲线的曲率就大些，弯矩值小的地方挠曲的曲率小些。再根据固定端处的挠度和转角均等于零；铰支座处挠度等于零，转角不等于零；中间铰两侧面处挠度连续，转角不
8、连续，挠曲线上出现折角。以及位移连续条件可绘出挠曲的大致形状。 各梁的弯矩图及其挠曲线的大致形状分别如各图中所示。例6-3 简支梁的荷载如图所示，弯曲刚度为EI。试用积分法求、和。解：方法1梁的挠曲线如图a所示，由对称性知，。梁的支反力。可取AC部分进行分析。图b (1) (2)由 ，得 ，得 转角方程和挠曲线方程分别为，方法2 取图c为研究对象。分AC、CB两段列挠曲线的近似微分方程，积分后共有4个积分常数，确定积分常数的位移连续条件为，；位移边界条件为 ，；，。读者可自行完成其具体计算。例6-4 梁的弯曲刚度为EI，已知其挠曲线方程为试求：1. 梁的最大弯矩及最大剪力；2. 梁的荷载及支承
9、情况。解：1. 求、和。由，得 (1) (2) (3)2. 求。可能发生在、处，以及处。由(2)式， 得 由(1)式，得,，故发生在处。3. 求。可能发生、处，以及处。由(3)式可见 时 ，该处有极值。由(2)式，得，故发生在的边界处。4. 梁的荷载及支座情况。由，知荷载为沿梁的长度线性分布，其方向向下。，；，。由 ，；，故 和 均为铰支座。梁的荷载及支座情况如图a所示，图和M图分别如图(b)和图(c)所示。例6-5 等截面悬臂梁下面有的曲面。欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力)，试求梁上的荷载，梁的弯曲刚度为EI。解：在图示坐标系中，挠曲线的近似微分方程为 ，梁的弯矩方程为 (1)剪力方程
10、为 (2)当在梁的自由端加向上的集中，满足剪力方程(2)，要满足弯矩方程(1)，梁上还应加集中力偶作用，使得 即在梁的自由端加一顺时针转的力偶。 故梁的荷载有，在自由端有向上的集中力和顺时转的力偶，如图b所示。例6-6 图a所示悬臂梁，其弯曲刚度为EI。试用叠加法分别求B、C截面的转角和挠度。解：1. 用图b所示的分解图式求B、C截面的位移。B截面的位移是由AB的变形产生的，与BC段的变形无关，将BC段的荷载向B截面简化如图b所示，该梁AB段的受力情况和原梁相同，故有C截面的位移是由AB段B截面的位移和BC段的变形共同产生的，由AB段B截面的位移引起的C截面的位移为由于BC段的变形产生的C截面
11、的位移为； 故 2. 用图c所示分解图式求C截面的位移图c中梁的受力情况和原梁相同，故有 讨论：当不能直接利用教材中表7-1的结果计算梁的位移时，首先对梁的位移进行分段分析，利用相当力系代替原力系，保持受力情况(包括约束反力)与原梁相同，把原梁分解成可利用表7-1进行计算的几种形式，再利用叠加法。例6-7 求图a所示外伸梁C截面的挠度和D截面的转角和挠度，梁的弯曲刚度为EI。 解：是由梁AB段的变形产生的，和是由梁的AB段和BD段的变形共同产生的。分解图式如图b、c所示。在图b中，AB段的受力和约束和原梁AB段完全一致，故 由AB段的变形产生的D截面的位移为 由BD段的变形产生的D截面的位移为
12、； 故 ； 讨论：本例是教材中的例题，又在这里重复，是因为该例是计算外伸梁位移的典型例子。例6-8 图a所示简支梁的弯曲刚度为EI。试求C截面的挠度和转角及B截面的转角。 解：图a梁的荷载可视为图b和图c两种荷载的叠加。 图b 结构和荷载均是关于C截面为对称的，其挠度是关于C截面为对称的，转角是关于C截面反对称的，C截面的转角。将简支梁的CB(或AC)部分简化悬臂梁(图d)，由图可见， 由叠加法，得图c 结构关于C截面为对称，荷载关于C截面为反对称的，其挠曲线关于C截面为反对称，C截面的挠度，转角不等于零，弯矩，C截面可简化为铰支座。梁的CB(AC)部分可简化简支梁(图e)。将以上结果进行叠加
13、，得 讨论：1. 有时利用对称性求梁的位移，是很方便的，要掌握其中的规律，对称梁受对称荷载时，其挠度是对称的，转角是反对称的，对称轴所在截面上的转角等于零；对称梁受反对称荷载时，其挠度是反对称的，对称轴所在截面上的挠度等于零，转角是对称的。在分析时还要结合梁的内力的对称性(见第三章)。 2. 由教材例7-2的分析可知，该梁的跨中截面挠度值可代替其最大挠度值，即例6-9 图a 所示结构中，AB、BC杆的弯曲刚度为EI，AB、BD杆的拉(压)刚度为EA。试用叠加法求C截面的铅垂位移。解：求的分解图式分别如图b、c、d、e所示。图a 由，得图b，图c图d 图e 故 例6-10 试用叠加法求图a 所示梁C截面挠度。梁的弯曲刚度为EI。解：图a所示梁的荷载可视为图b和图c两种荷载的叠加，图b所示梁的荷载可视为图d和图e两种荷载的叠加，图c所示梁的荷载可视为图f 和图h两种荷载的叠加，其中图f简支梁的CB(或AC)段，简化为图g所示悬梁。例6-11 位于xz平面内的刚架ABC，在截面受
