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1、二次函数在某区间上的最值问题例1.已知函数（1） 当时，求函数的最大值和最小值；（2） 求实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数。解析：（1），开口向上，对称轴，；（2）依题意对称轴不在区间内，故时，在上单调，。例2.已知在区间内有最大值，求的值。解析：对称轴，二次函数开口向下。数形集合。(1) 当，即时，得(舍)或；(2) 当，即时，得(舍)或a = 1(舍)；(3) 当，即时，得。综上。或。例3.已知函数，若x （1) 求函数的最小值的解析式；（2) 求的单调区间和最值。解析：（1）的对称轴为，开口向上当时，即时，当时，对称轴在区间左边，在区间单增，当，即时，同理在区间单减，综上所述，（
2、2）的单调递减区间单调递减区间时， 例4.已知函数，若时，求函数f（x）的最值。分析：由于对称轴是确定的，所以只要根据对称轴x=1与区间t，t+2的三种位置关系进行讨论，就容易求出最值。解：函数f（x）图象的对称轴为直线x=1（1）当，即时 （2）当，即 （3）当即 ,（4）当t1时，设函数最大值记为，最小值记为，则有 单调性的证明例题1：证明yx31（xR）的单调性。证明: 在（，）上任取x1、x2，使x1x2 则f（x1）f（x2）x23x13（x2x1）（x22x1x2x12）（x2x1）（x2）2x12x1x2，x2x10，且x1，x2不同时为零，（x2）2与x12不同时为零，即（x2
3、）2x120f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）yf（x）x31在R上是减函数例题2：判断函数f（x）x在区间（0，）上的单调性，并求出函数的值域解：任取x1，x2（0，），且x1x2，f（x1）f（x2）（x1）（x2）0x1x2，x1x20，x1x20且当1x1x2时，x1x210，当0x1x21时x1x21，x1x210当x1，x21，）时，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）函数yx在区间（0，1上是减函数，在区间1，）上是增函数易知yx（x0）时恒有y0且当x1时，ymin2 从而值域为2，）例题3： 求函数在上的单调区间。解：任取，则因为 所以若函数为增函数，则
4、 所以因为 所以，故同理，若为减函数，则因此，当时，函数为增函数当时，函数为减函数抽象函数例题1：函数f（x）当x0时有意义，且满足f（2）1，f（xy）f（x）f（y），f（x）在（0，）上是增函数（1）求证：f（1）0（2）求f（4）（3）如果f（x）f（x3）2，求x的取值范围解：（1）由f（xy）f（x）f（y），令x2，y1，得f（2）f（2）f（1），f（1）0（2）令xy2，f（4）f（2）f（2）2（3）f（x）f（x3）f（x（x3），且f（4）2，f（x）f（x3）2f（4）可化为f（x（x3）f（4）依题有解得3x4例题2：已知函数f（x）在（，）上是减函数，且满足f（x
5、y）f（x）f（y），f（2），试求不等式f（x）f（3x21）的解集解：函数f（x）在（，）上是减函数且满足f（xy）f（x）f（y）f（2）f（11）f（1）（1）f（1）f（1）由f（x）f（3x21）得f（x3x21）而f（1）f（2）f（3）f（x3x21）f（3），x3x213解得 故所求不等式的解为x| 练习： 已知f(x)的定义域为（0，），且在其定义域内为增函数，满足f（xy）f（x）f（y），f（2）1，试解不等式f（x）f（x2）3.例题3： 已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x0时，f(x)x2，则x1x20，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2) f(x1x2)又x0时，f(x)0， f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)因此f(x)在R上是减函数 (2)f(x)在R上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2.f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.例题4：已知函数的定义域是的一切实数，对定义域内的任意都有，且当时，（1）求证：是偶函数；（2）在上是增函数；（3）解不等式解：（1）令，得，令，得，是偶函数（2）设，则，即，在上是增函数（3），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数，解得：，即不等式的解集为1
