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1、走进数学思维（四）：数学思维的科学由前面关于“数学活动”的分析我们显然可以获得这样的启示：就数学思维的教学而言，最有效的方法是将其渗透于具体数学知识与技能的教学之中，因为这不仅可以使 学生更好地体会数学思维的作用和意义，从而真正成为可以学到手和能够加以推广应用的，也可使相关的知识内容成为可以理解的，从而彻底改变囫囵吞枣、死记硬背的现 象。 应当指明的是，这事实上也可看成中学数学教学的相关实践所给予我们的一个重要教益。具体地说，从20世纪80年代开始，作为研究数学思维的一门专门学问，数学方法论在我国得到了迅速发展，不仅获得了一系列重要的研究成果，而且也在促进实际数学教学活动方面取得了突出成绩，这
2、就是“数学方法论指导下的数学教学”。(对此可参见郑毓信所著的数学方法论，广西教育出版社，1991年版；或郑毓信所著的人数学方法论入门夕，浙江教育出版灶，2006年版) 基于这样的背景，以下情况的出现就十分自然了，即有不少学者都力图将“数学方法论”及其相关成果直接推广应用于小学数学教学。但是，根据笔者的亲身体验，我们首先应清楚地认识到这样一点：如果不能针对小学数学的具体内容与小学生的认知水平进行具体分析，任何简单的移植都不可能获得成功。例如，有不少这样的论著，尽管它们都以“小学数学方法论”(或其他类似的题目)作为书名或标题，但其主要内容则源白一般的数学方法论著作，如“函数思想”“极限思想”“集合
3、思想”的详细论述等。在笔者看来，这些事实上都已超出了小学生的接受水平。 为了清楚地说明问题，以下就以“类比(联想)”为例来进行分析。正如人们所广泛了解的，在一般的数学方法论著作中，类比常常被列为最基本的一种数学思维。也就是说，在数学中我们常常可以通过两类不同对象的比较获得一定的联想，包括由已知的结论引出关于未知对象的新的猜测，以及由已有的知识获得关于如何求解所面临的新问题的有益启示等。尽管在小学数学教学中我们也可找到类比的诸多应用，但同时又应清楚地看到这样一点：相对于简单的比较与分类而言，类比应当说代表了更为复杂的一种思维形式。因为作为类比的对象必定是两类不同的对象，尽管在类比时也用到了比较，
4、但我们的目的是“触类旁通”，即如何能够通过找出两类不同对象之间的类似之处从而引出一定的联想，而联想的核心就在于“求同存异”。“求同”是指，为了应用类比，我们并不需要相关对象在所有各个方面都彼此相似，而只要求两者在某一方面或在某一抽象层次上是相似的；所谓的“存异”则是指新的猜测的产生并不是简单的重复、模仿，而是一种创造性的工作，特别是在由已知事实去引出新的猜测时，我们必须注意分析两者之间所存在的差异，并依据对象的具体情况作出适当的调整。 正因为类比必须以一定的知识作为联想的基础，而且要用到“求同存异”这样一种相当复杂的思维形式，因此，要求小学生，特别是低年级小学生掌握这样一种思维方式是十分困难的
5、；毋宁说，我们应首先要求学生较好地掌握简单的比较与分类。另外，以下的真实故事显然也就表明：与所谓的“集合思想”相比，要求小学生掌握分类的思想可能更为恰当。【例十】“除非它们都能站起来！” 这一故事发生在20世纪60年代，当时“新数运动”作为风靡全球的一次数学教育改革运动正处于高潮之中，而其核心思想就是认为应当用现代数学思想对传统的数学教 育作出改造。由于集合的概念在现代数学中占据了特别重要的位置，因此，下述情况的出现就不足为奇了。一个数学家的女儿从幼儿园放学回到家中，父亲问她今天学到了什么。女儿高兴地回答道：“我们今天学了集合。”数学家觉得这样一个高度抽象的概念，对于女儿这样年龄的孩子来说实在
6、太难理解了，因此就关切地问道：“你懂吗?”女儿肯定地回答道：“懂！一点也不难。”“这么抽象的概念会这样容易理解吗?”听了女儿的回答，作为数学家的父亲仍然放心不下，因此又追问道：“你们的老师是怎么教你们的?”女儿回答道：“老师先让班上所有的男孩子站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集合；她又让所有的女孩子站起来，并说这是女孩子的集合；接下来，又是白人孩子的集合、黑人孩子的 集合最后，教师问全班：大家是否都懂了?她得到了肯定的答复。”显然，这个教师所采用的教学方法并没有什么问题，甚至可以说相当不错。因此，父亲就决定用以下的问题作为最后的检验：“那么，我们是否可以将世界上所有的匙子或土豆组成一个集合?
7、”女儿迟疑了一会，最终作出了这样的回答：“不行！除非它们都能站起来！”基于同样的认识，笔者以为，要小学生掌握函数思想、极限思想也有点高不可攀；毋宁说，即使就小学高年级学生而言，帮助他们初步理解变化的思想与无限的思想恐怕才真正可行。以下再转向如何进行数学思维教学的问题，特别是如何用思维方法的分析带动具体知识内容的教学，对此也可先来看一个实例。【例十一】少年时代的高斯如何很快求得1+2+3+99=4950的？由于缺乏可靠的资料，我们现在已不可能准确地知道少年时代的高斯究竟是如何很快求得1+2+3+99=4950的。但是，通过如下的“方法沦重建”，我们仍然可以达到“化神奇为平凡、化复杂为简单”的目的
8、。以下的解题过程(如图1)是学生们较为熟悉的：因此，由简单的类比我们就可想到：为了求得S=1+2+3+99的结果，我们可以首先去计算： 2S=(1+2+3+99)+(99+98+97+1)=10099=9900 这样，我们就可立即获得最终的结果：S=4950。 显然，“方法论重建”十分清楚地表明了教学工作的创造性。而其根本意义在于，通过深入揭示隐藏在具体数学知识背后的思维方法，可以把数学课真正“讲活”“讲懂”“讲深”：通过方法论的重建，我们可以向学生展现“活生生的”数学研究工作，而不是死的数学知识，这就是所谓的“讲活”；还可以帮助学生真正理解有关教学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背，这就是“讲懂
9、”；我们不仅能使学生掌握具体的数学知识，而且也能帮助学生逐步领会乃至掌握内在的思维方法，这也就是所谓的“讲深”。 以下的实例则集中地表明了数学家在面对问题时是如何进行思考和探索的，特别是一些定型的问题和建议更可看成所谓的“数学启发法”(或者说“解题策略”)的核心所在。 【例十二】“幻方”如何在图2所示的九个方格中分别填人1-9这九个自然数，使得每一行、每一列、每条对角线上的数的和都相等?图2 首先，可以考虑这样一个问题：什么样的信息可以使得这一问题变得较为容易求解?显然，如果我们能知道每一行、每一列、每条对角线上的数的和究竟是多少，这个问题就会变得较为容易求解。从而，我们事实上就用到了这样一条
10、启发性原则： 设立次目标：努力求得部分的结果，并利用它作为出发点去求取剩余的部分。 然而，我们怎样才能求得所说的和呢?假设我们已经获得了所要求的答案，我们可以由此去推出答案所必然具有的性质。 现假设所说的和为S，把三列全部加起来，其和显然为3S。但它同时又等于19这九个数的和，即45，从而就有S=15。 在此我们用到了这样的启发性原则：从后往前推：假设我们已经获得了答案，由此从后往前推以确定它所必然具有的性质。接着，我们再考虑这样一个问题：在所有九个方格中哪一个最为重要?显然是正中间的那个。以下就是相应的启发性原则： 关键性原则：集中注意于关键点常常会给你带来力量。 能否把9放在正中间的方格?
11、不行，因为这时我们就无法放置8了：无论把8放在哪里，我们都必须将9和8加起来，但其和已经超过了15，同理，8、7、6这几个数显然也都不能放在中间的方格。1能否放在中间的方格?也不行，因为这时2必然出现在某个地方，而为了使相应的行或列或对角线上的数的和为15，就必须加上12，这是不可能的。同理，2、3、4这几个数也都不能放在中间的方格。因此，5是放在中间方格的唯一选择。 上面的推理过程体现了这样一条启发性原则： 特殊化原则：首先对特殊的情况进行研究。 在确定了5应放在中间方格的前提下，再来考虑1应当放在哪里。容易想到，尽管存在8种可能性，但事实上又可归结为这样的两类：或者将1放在角的位置上，或者
12、放在四周中间的位置，从而我们只需就图3所示的这两种情况进行分析就可以了。以下就是相关的启发性原则：对称性原则：在解题时应当充分考虑和利用对称性。1?1?5 图3现假设把1放在左上角，这时就必须将9放在右下角，这样才能保证相应的对角线上的数的和为15。进而再考虑2的可能位置。同样依据对称性，这时显然只需考虑如图4的三种可能性。12?52?2?9 图4但由仔细的审视可以看出，这几种可能性最终都将导致“矛盾”。从而，1必须放在其他的位置。 现假设把1放在上排中间的位置，这时就必须将9放在下排中间的位置。这时2仍有三种可能的位置(如图5)。 2?12?52?9 图5现假设将2放在左上角的位置，容易发现
13、这时必须在右上角放置12；而如果将2放在中间一行最左边的位置，则就无法放置3。从而把2放在左下角就是唯一的选择。这样继续下去，我们就可获得最终的答案，如图6所示。618753294 图6上述答案的获得是否意味着解题活动的结束?不!我们还应继续考虑是否有其他的解题方法。由于原来的问题要把19这几个数分成这样的“三数组”：使其和都等于15。因此，我们也可首先尝试着把所有这样的“三数组”都列举出来。相应的启发性原则为： 由前往后走：看看利用现有的对象可以得到多少种组合。例如，以下就是一些可能的组合：(3、5、7)，(8、1、6)，(4、5、6)，(1、5、9)，(7、6、2)，(6、8、1) 这时是
14、否会出现重复的情况?显然，(8、l、6)和(6、8、1)就是这样的情况，从而就必须去掉一个。另外，我们显然又应防止可能的遗漏。正是基于这样的考虑，我们就可提出如下的启发性原则： 系统化原则：系统地去进行工作会有很大的帮助。 例如，我们可以按照递增的次序列举出所有“三数组”。以下就是所有可能的“三数组”：(1、5、9)， (1、6、8)， (2、4、9)，(2、5、8)， (2、6、7)， (3、4、8)， (3、5、7)，(4、5、6)。 进而，如前面所指出的，中间的方格具有特别的重要性：这一方格中的数应同时包含在4个“三数组”之中(2条对角线，1条横行，1条竖列)。对上面所列出的各个数组进行
15、观察，容易发现其中只有一个数同时出现在4个数组中，这就是5。从而，如果有解的话，中间的数就一定是5。那么，角上的数和四周中间位置的数又应分别是几呢?显然，角上的数将同时包含在3个数组之中，四周中间位置的数则将同时属于2个数组。由实际观察可以发现2、4、6、8这四个数在上述各个“三数组”中都出现了3次，1、3、7、9则都出现了2次。从而，如果有解的话，角上的数就必定是2、4、6、8，四周中间的数则必定是1、3、7、 9。这样，上述的问题也就可以立即获得解决。由于用不同的方法去求解同一问题不仅可以对已获得的结果作出检验，通过相互比较我们也可在方法论上实现更大的自觉性，包括实现必要的优化。从而，我们就应当引 出这样的启发性原则：多样性与优化原则：数学中往往有不止一种解题
