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1、戴氏教育精品堂 达州校区 高一数学 主讲人：袁婷 名师热线：15984787064戴氏教育名校冲刺教育中心高一函数及其表示重难点突破（一）【亲爱的孩子：重要的不是知识的数量,而是知识的质量,有些人知道很多很多,但却不知道最有用的东西】一、 课程大纲1函数的概念 2函数的表示法；映射。3函数的基本性质：单调性与最大（小）值，奇偶性。二、新知讲解重点：函数的概念（函数的三要素、函数相等）；函数的三种表示方法；分段函数；映射；函数的单调性（单调性的判断与证明）；函数的最值；函数的奇偶性（奇函数、偶函数图像的特征）。难点：1、函数的概念：设A、B是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集
2、合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），xA 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值得集合f（x）xA叫做函数的值域。注：函数的三要素：定义域、对应法则、值域。2、区间的概念定义名称符号数轴表示xaxb闭区间a,babxxaxb开区间(a,b)ab xxxaxb半开半闭区间a,b)abxxaxb半开半闭区间(a,babxabx注： 实数a,b叫做相应区间的端点. 用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点. 实数集R可以用区间表示为，“
3、”读作“无穷大”， “-”读作“负无穷大”，“+”读作“正无穷大”.3、函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。4、函数的表示法：解析式法、列表法、图象法。5、映射：设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就称f：AB为集合A到集合B的一个映射。6、函数与映射的相同与区别：（1）相同： 任意性 唯一性 确定性 集合A中的元素不可剩余，B中元素可剩余。（2）区别： 函数中A、B是两个非空的数集，映射中A、B是两个非空的集合； 函数是特殊的映射； 映射是函数的拓展； 函
4、数一定是映射，但映射不一定是函数。考点：三、例题精讲例题1（函数概念的考查）判断下列对应是否是以x为自变量的函数。 （1） （2）这里随堂演练：下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？（1）f：把x对应到3x+1；（2）g：把x对应到；（3）h：把x对应到，（4）r：把x对应到.例题2（函数三要素的考查）给出下列四种说法： 函数就是定义域到值域的对应关系；若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只有一个元素； 因为f（x）=5这个数值不随x的变化而变化，所以f（0）=5也成立； 定义域和对应关系确定后，函数值域也就确定了。正确的有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个例题
5、3（函数相等的考查）判断下列各组中的两个函数是否相等，为什么？（1）；（2）；（3）随堂演练 判断下列各组中的两个函数是否相等. （1）；（2）；（3）； （4）.例题4（区间的考查）将下列集合用区间表示：（1）；（2）；随堂演练 将下列集合用区间表示：（1）；（2）；（3）. .例题5（函数定义域的考查）求下列函数的定义域：（1）；（2）.（3）；注：函数y=f（x）一解析式的形式给出时，函数的定义域就是使这个解析式有意义的自变量的取值范围，具体来说，常有以下几种情况：（1）f（x）为整式型函数时，定义域为R。如一次函数、二次函数等；（2）f（x）为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数的
6、集合。如反比例函数等；（3）f（x）为二次根式（偶次根式）型函数时，定义域为使被开方数为非负的实数的集合；（4）若f（x）为0次幂或负整数指数幂型函数，则定义域为使幂底数不等于零的实数的集合；（5）如果函数是一些简单函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集。随堂演练 求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）.例题6（函数表示法的考查）将一条长为10cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形。试用多种方法表示两个正方形的面积和S与其中一段铁丝长x的函数关系。（x属于正整数）随堂演练 作业本每个0.3元，买x个作业本的钱数y（元），试用三种方法表示
7、此题中的函数。例题7（分段函数的考查）作出下列函数的图象：（1）；（2）.随堂演练 作出函数的图象.例题8 （映射的考查）给出下列四个对应： 其构成映射的是 （ ） A只有 B.只有 C.只有 D.只有随堂演练 已知集合，下列不表示从到的映射是（ ） 能力提升题1. 复合函数及其定义域的方法（1） 复合函数的定义如果函数y=f（t）的定义域为A，函数t=g（x）的定义域为D，值域为C，则当,称函数y=g(x)为f（x）与g（x）在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t=g（x）叫做内层函数，y=f（t）叫做外层函数。（2） 复合函数的定义域函数fg(x)的定义域还是指x的取值范围，而不是g（x
8、）的范围。 已知f（x）的定义域为A，求fg(x)的定义域，其实质是已知g（x）的取值范围为A，求出x的取值范围； 已知fg(x) 的定义域为B，求f（x）的定义域，其实质是已知fg(x)中的x的取值范围为B，求出g（x）的范围，此范围就是f（x）的定义域； 同一对应法则f下的范围相同，即f（t），fg(x)，fh(x)三个函数中的t，g（x），h（x）的范围相同。例1 若函数f（x）的定义域为1,4，求函数f（x+2）的定义域。例2 已知的定义域为0,3,求f（x）的定义域。随堂演练 （1）若函数f（x）的定义域是-2,2）,则函数y=f（2x+1）的定义域； （2）若函数y=f（2x+1）
9、的定义域是-2,2），则函数f（x）的定义域。2. 函数的值例3 函数，若，则求实数a。随堂演练 已知.（1）求f（2），g（2）的值；（2）求fg(2)的值；（3）求fg(x).3. 抽象函数问题例4 已知函数f（x）满足：，则f（2010）。随堂演练 若函数f（x）满足，则下列各式不恒成立的是（ ）Af（0）=0 B.f(3)=3f(1) C.f()= D.f(-x)f(x)04. 函数解析式的求法（1） 待定系数法例5 已知一次函数f（x），满足f（0）=5，函数图象过点（-2,1），求f（x）。（2） 配凑法、换元法、方程组法例6 求下列函数的解析式： 已知，求f（x）； 若，求f（x
10、）。（3） 特殊值法例7 设f（x）是R上的函数，且满足f（0）=1，并且对任意实数x，y有f（x-y）=f（x）-y（2x-y+1），求f（x）的表达式。随堂演练 （1）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17，求函数f(x)的解析式。（2）已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。 （3）已知函数f(x)满足，求函数f(x)的解析式。5. 分段函数求值问题例8 设函数，若f（a）=4，则求实数a。随堂演练 已知：，求ff(-1)综合题1. 函数的定义域为R，求实数a的取值范围。2. （1）已知函数为一次函数，且一次项系数大于0，若，求g（x）。（2）已知f（x）为二次函数，且满足f（0）=1，f（x-1）-f（x）=4x，求f（x）的解析式。（3）已知3f（x）+2f（-x）=x+3，求f（x）。四、课后练习1.求函数的定义域。2.设，则等于多少？3.若函数的定义域是0,1,求函数f（x）的定义域。4.下列给出的是分段函数的是（ ）A. B. C. D.5.已知f（x）为一次函数，2f（2）-3f（1）=5,2f（0）-f（-1）=1，则求f（x）的解析式。- 12 -教师寄语：学会动脑，动手；不死记硬背.地址：达州市通川区通川北路55号（达巴路口市妇幼保健院对面三楼）电话：0818-2367515
