《补充构造异面直线所成角的几种方法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《补充构造异面直线所成角的几种方法（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、一.异面直线所成角的求法1正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O是任意选取的，异面直线a和b所成角的大小，与 点O的位置无关。（2 ）异面直线所成角的取值范围是（0，90可2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利 用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。（2 ）求异面直线所成角的步骤： 选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。 求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。 因为异面直线所成的角0的范围是0 0 90,所以在三角形中求的角为钝角时，应
2、取它的补角作为异面直线所成的角。3、“补形法是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理， 禾I用补形法找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例1如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA】=AB=2 , AD=1,点E、F、G分别是DDAB、CC】的中 点，则异面直线B1E与GF所成角的余弦是。| EDGC例2已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，如图SA二SB二SC, 且/ ASB二/ BSC二/ CSA二巫,M、N分别是AB和SC的中点.2求异面直线SM与BN所成的角的余弦值.例3长方体ABCDA1B1C1D1中，若AB = BC = 3 , AA1=
3、4，求异面直线B】D与BC】所成角的大小。例 4如图，PA丄平面ABC , ZACB = 90。且PA = AC二BC二a，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于练习：1在棱长为1的正方体ABCDABCD中，M和N分别为A和BB】的中点，那么直线AM与CN 所成角的余弦值是（）(B)C（第1题）Ci2如图，A1B1C1ABC是直三棱柱（三侧面为矩形），zBCA=90,点F】分别是A、A】C】的中点若BC = CA=CC1，则BD与AF1所成角的余弦值是（）(A)3010(b)23正方体ABCDA1B1C1D】中，直线BC】与AC（A）相交且垂直（B）相交但不垂直（C）异面且垂直（D）异面但不垂
4、直4设a、b、c是空间中的三条直线，下面给出四个命题： 如果alb、b丄c,贝Dalle; 如果a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； 如果a、b是异面直线，c、b是异面直线，则a、c也是异面直线； 如果a和b共面，b和c共面，则a和c也共面在上述四个命题中，真命题的个数是()(A)4(B)3(C)2(D)1(E)05如果直线I和n是异面直线，那么和直线I、n都垂直的直线(A)不一定存在(B)总共只有一条(C)总共可能有一条，也可能有两条(D)有无穷多条6如图，四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于(A)90(B)60(C)45(D
5、)307右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，BM与ED平行；CN与BE是异面直线；CN与BM成60角；DM与BN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D)8如图，四面体ABCD中，AC丄BD,且AC = 4, BD = 3, M、N分别是AB、BD所成角的正切值为。CD的中点，则求MN和3 D B (第8题)C9 .异面直线a、b成60,过空间一点P的直线c与a、b成角都为60,则这样的直线c有条。10 异面直线a、b成60,直线c丄a，则直线b与c所成的角的范围为()(A ) 30, 90( B ) 60, 90(C ) 30, 60( D ) 60, 1201
6、1 如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M、AB】所成角的余弦值。12.如图，四面体 ABCD 中，E 为 AD 中点，若 AC 二 CD 二 DA = 8, AB 二 BD = 5 , BC = 7，求 BE 与 AC 所成角的余弦值。二共面、共线、共点问题共点问题：证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点解决此类问题的一般方法是：先证其中 两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上.共线问题：证明点共线，常常采用以下两种方法：转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3 证得这些点都在这两个平面的交线上；证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明
7、其 他的点都在这条直线上.共面问题：证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：根据已知条件先确定一个平面，再证明其他 点或直线也在这个平面内；分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合.1如图所示，在正方体ABCDABCD中，E为AB中点，F为A】A的中点. 求证：（1）E、C、F四点共面；（2）CE、DF、DA三线共点。2.如图，ABCD, AB A a = B, CD A a = D, AC A a = E,求证：B、E、D 三点共 线。练习：1. 共点的四条直线最多能确定个平面。2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有-设过A、B、C三3已知平面a A平面B
8、= 1，点A、B wa，点C wp且C电1，AB A l = R点的平面为丫，则卩A丫是（ ）A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上全错4. 已知ABC三边AB、BC、CA分别交平面a于P、Q、R,求证：P、Q、R共线。5. 如果3BC和3厲5不在同一平面内，且AABBCC1两两相交，求证：三直线AABBCC1 交 于 点。三平行问题1、“线/线”的证明：(1)平行四边形法：如图，在正方体ABCD - ABC D中 由AB_DC_D C1 1 1 1T1 1得四边形ABC1D1为平行四边形，于是BC1/ AD1 ；中位线法：如图,四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点Q是PC的中点，
9、则由OQ是 PAC的中位线，得到OQ/PA ；“线/面”平行法：如图，若B1C1 /平面ABCD，过BC 的平面交平面ABCD于MN，则BC MN ；(4)“面/面”法：如图，若平面A1B1C1D1 平面ABCD，平面与平面A1B1C1D1、平面ABCD分别交于EF、MN， 则有 EF/ MN;“平行线分线段成比例定理的推论”:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段成比例。A1ABA1如图，在正方体ABCD A1B1C1D中，E，F分别为面对角DE AF 线DB,AB上的动点，且DE= AF,则三占二 疳,EB FB1pDE AE AE AF乂 EEB 二 G，故
10、卫G = FB，所以 EF/GBo12、“线面”的证明：“线线”法：如图,Q为PC的中点，则OQ AP，所以OQ 平面PAD ；“面面”法:如图，若A1B1C1D1 /平面ABCD,直线MN在平面A1B1C1D1, 则MN平面ABCD ；3、“面面”的证明： “线面”法：如图，在平面ABCD.上找到两条相交直线MN、MC1均平行于平面ABCD,则有平面ABC平面ABCD ；例题分析：1. a a，b IIa，则a与b的位置关系（）a.平行 b.异面 c.相交 d.以上情况均有可能2. a ,b是两条不相交的直线，则过直线b且平行于a的平面（）A有且只有一个 B至少有一个 C至多有一个D以上答案
11、都不对3、已知正方体ABCD-ABCD中，E , F分别是A、B、，BC的中点。求证：EFII面ADC。4、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P , E、F分别是AB, PC的中点， 求证：EFII平面PAD ；6、如图，在正方体ABCD - A1BCD中，E是5.如图，四棱锥P - ABCD的底面是正方形，点E、F分别为棱AB、PD的中点。 求证：AFII平面PCE ；AA1的中点，求证：AC平面BDE。7.如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：pB |平面AEC .8 .已知正四棱锥PABCD , M、N分别是P4、BD上的点，且PM: MA=BN :
12、ND=5 : 8，求证：直线MN |平面PBC ；CDNBCDENCDB9、正方体 ABCD-ABCiDi，P、Q分别是正方形AA1D1D和A1B1C1D1的中心。求证PQ 平面DD1C1C ；A1B1A17BB1C110 .已知正三棱柱ABC - ABC , D为AC中点。求证：直线AB11平面CDB ；C1111 如图:已知AlBlCl ABC是正三棱柱D是AC中点.证明:AB II平面DBC；112.如图，在斜三棱柱ABC - A1B1C1中，E、F分别是棱BC、A A的中点，证明A1E 平面B1 FC1ABFCBA113 .如图，在四棱锥P ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E是
13、PC的三等分点，F是PB的中点，求证：AF 面BDE ；14、如图PA丄平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB，PD的中点。求证：AF/平面PCE ；15.如图，平面EFGH分别平行于CD,AB , E,F,G,H分别在B.D,BC,AC,AD 上,且 CD = a，B = b，CD丄AB . (1)求证：EFGH是矩形；(2)求当点E在什么位置时，EFGH 的面积最大.16.如图，在四棱锥S - ABCD中，SA = AB = 2，SB = SD = 2込，底面ABCD是菱形，且ZABC = 60。，E为CD的中点.侧棱SB上是否存在点F, 使得CF/平面SAE ?并证明你的结论.17.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，AD/BC, PA=AB = BC=- AD在棱PD2 * *上
