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1、解疑周期函数的定义域与周期2010.04提出问题：f(x)=sinx (x0)是周期函数吗？；周期函数定义域是R吗？若T是f(x)的周期，那么kT(k属于Z）必是f(x)的周期吗？首先明确：一、有限区间、无限区间；二、非空数集的有界、无界与确界；三、再解疑周期函数的定义域与周期；四、教师参考探讨如下一、 有限区间、无限区间：1.有限区间：= 开区间；= 闭区间；半开(半闭)区间. 2.无限区间：= ； ；.二、非空数集的有界、无界与确界1.上界、上确界： 设为中的一个非空数集若存在实数M，使得对一切，都有, 则称为数集的上界。所有上界中最小的一个叫数集的上确界。2.下界、下确界: 设为中的一个
2、非空数集若存在实数M，使得对一切，都有, 则称为数集的下界。所有下界中最大的一个叫数集的下确界。3. 非空数集有界：设为中的一个非空数集，若数集“有上界且有下界”, 则称数集有界。如有限区间类：。间断类型：4. 非空数集无界：设为中的一个非空数集，若数集“无上界或无下界”, 则称数集无界。（无界含有三种情况：无上界；无下界；无上界且无下界。）如无限区间类: 间断类型：;注意：函数的定义域是非空数集应分有界与无界两类。即有限区间双侧有界，间断双侧有界；无限区间单侧无界，无限区间双侧无界，间断单侧无界与间断双侧侧无界。（定义域分为有限区间与无限区间不确切）三、 函数的定义域与周期1.周期函数的定义
3、（旧人教、新课标版一样）：对于函数y=f(x)，如果存在常数T0，使得当x取定义域内每一个值时， 都有f(x+T) = f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T就叫这个函数的周期。 若所有周期中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。注意：定义中“存在常数T0”,其意是可存在正数T，也可存在负数T，还可二者都存在，不是正负同时存在才行。定义中“x取定义域内每一个值”时，都有f(x+T) = f(x)，即恒成立的意思。结论：其实有周期函数定义和注意不难得出周期函数的定义域有不同的三种形式，：定义域左侧无界；定义域右侧无界；定义域双侧无界。（定义域为左侧无限区间；定义域为右侧无限区间；定义
4、域双侧无限区间；不妥因由间断）。周期T有不同的三种形式形式：有正周期不一定有负周期；有负周期不一定有正周期；有正周期不一定有最小正周期。举例如下例1： 解：周期。无负周期，定义域右侧无界，有最小正周期。例： 解：周期。无正周期，定义域左侧无界，无最小正周期。例3： 解：周期。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。例4 解：周期。无负周期，定义域右侧无界，有最小正周期。例5: 解：周期。无正周期，定义域左侧无界，无最小正周期。例6: 解：周期。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。例7: 解：任意都是周期。有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。例8: 解：非周期函数。例9:f(x)=
5、0,x为整数 解：周期。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。例10lgsin（x） 解：周期。有正负周期，定义域双侧无界，有最小正周期。例11克雷Dirichlet函数 解：周期为任意实数。有正负周期，定义域双侧无界，无最小正周期。2. 周期函数性质：T是函数f(x)的周期，则对于任意的正整数kN，kT是f(x)的周期。应该把那个kZ改成kN. 若都为函数f(x)的周期，且，则也是f(x)的周期.注意：T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数，kT是f(x)的周期不正确。四、教师参考为什么对周期函数的定义域与周期理解有异议哪？其原因是中学与大学教材定义不一样。1. 大学周期函数的定义：对
6、于函数y=f(x)，如果存在常数T0，使得当x取定义域内每一个值时，都有f(xT)=f(x)，那么函数y= f(x)就叫周期函数，T就叫这个函数的周期。 若所有周期中存在一个最小的正数，则称它为最小正周期。结论：定义域双侧无界。周期T：有正周期必有负周期；有负周期必有正周期；有正周期不一定有最小正周期。性质：此时周期函数的性质可变为：(1) 若T是f(x)的周期，则-T也是f(x)的周期；(2) 若T是f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期，其中k是非零整数；(3) 若T1、T2是f(x)的周期，则T1T2也是f(x)的周期；(4) 若T是f(x)的最小正周期，则f(X)的所有周期组成的集合为t|t=kT,kZ, k0；(5 若f(x)是周期函数，则f(x)的定义域一定是双侧无界的。2. 严格按照课本，如果课本上没有明确定义，我想像高考这种考试会避开这类问题。因为这种定义，是观察了实际中的事物或现象后，在数学上找一个可以反映这种规律的数学定义，很难说哪一种定义更符合人们的初衷，而且还可能会有一些奇怪的例子，很不符合最初的观念。2010.04.173
