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1、不等式常用考试题型总结一、高考与不等式高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右,重要考察不等式的基本知识,基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力,分析问题和解决问题的能力.选择题和填空题重要考察不等式的性质、比较大小和解简朴不等式，还也许与函数、方程等内容相结合的小综合.解答题重要是解不等式或证明不等式或以其她知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考察:不等式的性质的考察常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考察相结合,一般多以选择题的形式浮现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合,且试题难度不大；解不等式的试题重要在解答中浮现，常常是解含参不等式较多,且多与二次函数、指
2、数、对数、也许还会浮现导数相结合命题;证明不等式是理科考察的重点,常常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还也许与平面向量等结合起来考察.二、常用考试题型(1）求解不等式解集的题型（分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简朴的一元高次不等式的解法）（)不等式的恒成立问题（不等式恒成立问题的常规解决方式常应用函数方程思想,分离变量法,数形结合法）（）不等式大小比较常用措施：1作差：作差后通过度解因式、配方等手段判断差的符号得出成果;2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法;.平措施；分子(或分母)有理化;运用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法;8.图
3、象法。（)不等式求函数最值技巧一:凑项例：已知，求函数的最大值。技巧二:凑系数例 当时,求的最大值。技巧三:分离例. 求的值域。技巧四：换元例. 求的值域。技巧五:函数的单调性（注意:在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的状况,应结合函数的单调性。）例：求函数的值域。技巧六：整体代换（多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。)例：(1)已知，且,求的最小值。(2）若且,求的最小值(）已知且，求的最小值技巧七、运用转换式子技巧八、已知，y为正实数，且 2=1，求x的最大值分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式ab。同步还应化简中前面的系数为 ， xx x下面
4、将x,分别当作两个因式:x 即x= 技巧九:已知,b为正实数,2+a+a30,求函数y=的最小值这是一种二元函数的最值问题,一般有两个途径，一是通过消元,转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解二是直接用基本不等式。例:.已知a0,b，ab-（ab)=1，求b的最小值。2若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧十：取平方例、已知x，y为正实数,x2=0,求函数=+的最值.(）证明不等式常用措施:比较法、分析法、综合法和放缩法。基本不等式最值求法的题型基本题型一：指数类最值的求法1. 已知,求的最小值。变式1.已知，求的最小值。变式已知,求的最小值。变式3.已知，求的最小值。变式4已知
5、点在直线上，求的最小值。基本题型二:对数类最值的求法2. 已知，且，求的最大值。变式.已知，且，求的最小值。变式2.已知点是圆在第一象限内的任一点，求的最大值。能力题型一：常数变形（加或减去某个常数使两个因式的积为常数)1. 已知,求的最小值。变式已知,求的最小值。变式2.已知,求的最大值。能力题型二:代换变形(把整式乘到分式中去以便于用基本不等式)1. 已知,且，求的最小值。2. 变式1.已知,且,求的最小值。变式2.已知,且，求的最大值。能力题型三：指数与系数的变形(调节字母的系数和指数)1. 已知,且，求的最大值。变式1已知，且,求的最大值。变式2.已知,且，求的最小值。能力题型四:对勾
6、函数及其应用【对勾函数】，由得顶点的横坐标为。,由得顶点的横坐标为。,由得顶点的横坐标为。例1.求的值域。变式1求的值域。变式.求的值域。例2求的值域。变式1.求的值域。变式.求的值域。例3.求的值域。变式1.求的值域。变式2.求的值域。基本不等式例题例1. 已知, 且，求的最小值及相应的值.例2. 的最小值为_。例已知,成等差数列，成等比数列,则的最小值是(）例4.函数的图象恒过定点，若点在直线上,则的最小值为_例5若，则的最小值是（)例6下列各函数中，最小值为的是()A B. C. D.例（1）已知，求函数的最大值.(2）求函数的最小值求的最大值练习. 设,则的最大值为例.已知，且. 求的
7、最大值及相应的的值例9若x,y是正数，则的最小值是练习：已知实数x，满足+y-1=0，则x2+y2的最小值例0.若实数a、b满足ab=2，是3a+3b的最小值是基本不等式证明例 已知a，为正数,求证：例实际应用：某单位用木材制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x y(单位:)的矩形,上部是等腰直角三角形,要使框架围成的总面积为8,问x 分别为多少时用料最省?基 本 不等 式应 用一基本不等式.()若,则 (2)若，则(当且仅当时取“”). (1)若，则 (2）若,则（当且仅当时取“”）（3)若,则 (当且仅当时取“=”)3.若,则（当且仅当时取“=”);若,则(当且仅当时取“=”)若，则
8、 (当且仅当时取“=”）若,则 (当且仅当时取“”）若,则 (当且仅当时取“=”）4.若，则（当且仅当时取“”）注:(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小，和定积最大”.(2）求最值的条件“一正，二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范畴、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一:求最值例1：求下列函数的值域（1)y3 2+ （2）x解:（1）y=3x2 值域为,）（）当0时，yx+=2；当0时, x+（- x)-22值域为(-,22，+）解题技巧：技巧一:凑项例1:已知，求函数的最大
9、值。解:因，因此一方面要“调节”符号,又不是常数,因此对要进行拆、凑项,，当且仅当，即时，上式等号成立,故当时,。评注:本题需要调节项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当时,求的最大值。解析:由知，,运用基本不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到为定值，故只需将凑上一种系数即可。当,即2时取等号 当时,的最大值为。评注:本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可运用基本不等式求最大值。变式:设，求函数的最大值。解:当且仅当即时等号成立。技巧三: 分离例. 求的值域。解析一:本题看似无法运用基本不等式,
10、不妨将分子配方凑出具有(x1）的项，再将其分离。当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。技巧四：换元解析二:本题看似无法运用基本不等式，可先换元,令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,(当t=2即x1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，一般直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再运用不等式求最值。即化为,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时,若遇等号取不到的状况,应结合函数的单调性。例：求函数的值域。解：令,则因，但解得不在区间,故等号不成立,考虑单调性。由于在区间单调递增，因此在其子区间为单调递增函数,故。因此,所求
11、函数的值域为。练习求下列函数的最小值,并求获得最小值时，x 的值.（1) （2） (3)2.已知，求函数的最大值;3.,求函数的最大值条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .分析：“和”到“积”是一种缩小的过程，并且定值,因此考虑运用均值定理求最小值，解: 都是正数，当时等号成立,由及得即当时,的最小值是.变式:若，求的最小值.并求x，y的值技巧六:整体代换:多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。:已知，且，求的最小值。错解：,且， 故 。错因：解法中两次连用基本不等式，在等号成立条件是,在等号成立条件是即，取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在运用基本不等式
12、解决问题时，列出等号成立条件是解题的必要环节,并且是检查转换与否有误的一种措施。正解：,当且仅当时，上式等号成立,又,可得时, 。变式: (1）若且，求的最小值(2）已知且,求的最小值技巧七、已知x，y为正实数,且x2=1，求的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次,故采用公式a。同步还应化简中y前面的系数为， =x x下面将x，分别当作两个因式：x= 即xx 技巧八:已知a,b为正实数，2aba=30,求函数y的最小值.分析：这是一种二元函数的最值问题，一般有两个途径，一是通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对本题来说,这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题
13、来说，因已知条件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法一:a, ab=由a0得，015令t+1,10，b0,ab-(ab）1，求+的最小值。2.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x,为正实数，x+2y10,求函数W+的最值.解法一:若运用算术平均与平方平均之间的不等关系，,本题很简朴+ =2解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W,2=3x+y2=20(）（) 10(3x+2y）2 2变式: 求函数的最大值。解析：注意到与的和为定值。又，因此当且仅当=,即时取等号。 故。评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为运用基本不等式发明了条件。总之,我们运用基本不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”，同步还要注意某些变形技巧，积
