《裂项相消与放缩法解数列收集》由会员分享，可在线阅读，更多相关《裂项相消与放缩法解数列收集（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、列专题3一、裂项求和法裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的 目的.1数列。常用裂项形式有：1_ 11 n(n + 1) n n + 11 一-1(2n)211(1 1 ) ;7 、 T / / n(n + k) k n n + k11通项分解(裂项)如：通项为分式结构，分母为两项相乘，型如：a a , aj是d。0的等差 n n+1=1 + 上(二-)；(2n - 1)(2n +1)2 2n -1 2n +1.；n(n -1)(n + 2)2 n(n +1)(n +1)(n + 2)1 a - 3)；a - b = n +1 -侦 n +1
2、+n = =1 (3+k - 3)特别地： v-n + k +、m k二用放缩法证明数列中的不等式将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的方法，叫放缩法。1. 常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：2a k ( k为常数)；Ea f (n):Ha f (n):Ha |a| ；(2) 将分子或分母放大(或缩小)1；n2-上(n2 -1 (n - 1)(n + 1) 2 n -111n(n +1) nI 111 n2 n(n -1) n -1 nII 1 一 + + += 、n2 3 xn 、: n ：n 弋 n vn 平方型：L 土 2)(程度小)=一1111n +
3、 + -+ 一2n2n2n2n2n2 2)n 3n(n2 -1)2 (n -1)nn(n +1)指数型：-1b 1) ； b D an - ban一1(a - b)；k +1 - k = ;k +1 +M2tk利用基本不等式,n(n +1) + ( 十1)，如：log3 - lg5 (lg3 + lg5)2 = lg *15 lg (希=lg422(一) 放缩目标模型可求和一等比数列或等差数列1 111、例如：(1 )求证：一 + 一+ + 一 1(n g N *).2 22 232 n(2)求证:11+2 +122 +111+ - +23 + 12 n + 1 1(n g N *)(3)求证
4、:12 + 2+1 22+23+ - +23 + 3 2(n g N*).总结：放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 可直接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，ii=1一般要先将通项气放缩后再求和.问题是将通项七放缩为可以求和且不大不小”的什么样的气才行呢？其实，能求和的常见数列模 型并不多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项相消模型等实际问题中，b大多是等比模 型或裂项相消模型.n先求和再放缩例1.设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Sn = an + 12-4n-1,neN*,且a2,a5,a14构 成等比数列.(1)证明：a = J4a + 5 ;求数列小的通项
5、公式；11(3)证明：对一切正整数口，有+aa aa1 22 3(2)先放再求和例如：求证：1 + + + + 一 n + 亦-2(n g n*).例2.设数列an的前n项和为Sn，满足况二宜2凶+1, n M*，且a1,a2+5,a3成等差数列.LII id_l(1) 求a1的值；(2 )求数列an的通项公式；(3 )证明：对一切正整数n,有.al a2 a3 an 2111 一总结：一般地，形如a = an - bn或a = an - b (这里a b 1)的数列，在证明一 + 一+ +一 2)，数歹U a 的前n 项和为 S .nn1nn n-1n-1nn(1) 求数列an的通项公式；(
6、2) 求证：当 n 2 时，+ sn 2时，是否有(+ J； + ) Sn 3 ?说明理由.(3)形如才a f (n)i=1例如：设 S = JI 2 + J2 3 +. + n(n +1)，求证：“(；D S 根据所证不等式的结构特征来选取所需要的不等式，不等式关系：4ab Q 土竺 1 122ab注：应注意把握放缩的度：上述不等式右边放缩用的是均值不等式而ab ,若放缩成2xn(nT1)v n+1,则得 s 5)2，就放过度了。 n i22i=1总结：形如Za f (n)的数列不等式证明：ii=1设Sn和Tn分别为数列an和bn的前n项和，若an b, (n e N *)，利用不等式的同向
7、可加性这一基本性质，则有S T .要证明不等式Za 2)，b = T，那么只要证其通项满足a b + m (b a , m 0)和 b b 0, m 0) a a + ma a + m记忆口诀：小者小，大者大，(解释：看b，若b小，则不等号是小于号，反之)1 3 52n -1 1例如：证.x x x . x ?n +1。3 52n -1总结：形如U气=f (n)的数列不等式证明：设 气和Bn分别为数列叩和区的前n项积，若 i=10 气 bn利用不等式的正数同向可乘性这一基本性质则有气 Bn .要证明不等式U气=f (n)，i =1如果记B = f (n)看作是数列b 的前n项积，则b = A
8、(n 2)，b = B，那么只要证其通项满足 nnn B11n-10 a b即可.例3.已知数列a 满足a = - , a =22(n e N*).n 1 3n+1 2a - 3n1(1) 求证：_L是等差数列，并求出a 的通项a ；a 一 1nn(2) 证明：对于n e N *，a a aa 】.1 , 2 , 3 , n vn +1(二)添加或舍去一些正项(或负项)若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证 明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证 明的目的。例如：已知a = 2n 1(n e
9、 N*),求证：- 2)之间的关系式，并求a的通项公式；(II) 求证1 + 1 + . + _! 2.SS 2S例5.已知数列、.：满足：，上二.，记1 -山4 * A(I) 求证：数列八是等比数列；(II) 若* ; 对任意-恒成立，求t的取值范围；(III) 证明：t、七，小-.(三) 固定一部分项，放缩另外的项例6.设数列气的前n项和为Sn.已知a广1,2 = a -n2 -n- , neN*- nn1nn+1 33(1 )求a2的值；(2 )求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有1 + _! + +_! 7.a a a 4练习：H H Z I 一+ S / 2+s% SN (一pmv - +.:+t+t 酉弦(II)u u-utsHg(华忌娠弦(I) nQe7eT U u(T+ s、一Lu 皿占iu 症掀我 socnq61iu8LS ztlzv()mRag=M - - + : + T + n + I n S 思S皿 ilwls ssi i (I) fIBM ,11,、通项分解（裂项）如：通项为分式结构，分母为两
