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1、1.4.1曲边梯形面积与定积分【学习要求】1了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质【学法指导】通过求曲边梯形的面积、变力做功这两个背景和实际意义截然不同的问题，进一步体会定积分的作用及意义.1定积分：设函数yf(x)定义在区间a，b上，用分点ax0x1x2xn1xnb，把区间a，b分为n个小区间，其长度依次为xixi1xi，i0,1,2，n1.记为这些小区间长度的最大者，当趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0，在每个区间内任取一点i，作和式In(i)xi.当0时，如果和式的极限存在，我们把和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记
2、作 f(x)dx ，即f(x)dx_(i)xi_.2在定积分f(x)dx中，f(x) 叫做被积函数，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限， f(x)dx 叫做被积式3如果函数f(x)在a，b的图象是 一条连续的曲线 ，则f(x)在a，b一定是可积的4定积分的性质(1)kf(x)dx kf(x)dx (k为常数)；(2)f1(x)f2(x)dx f1(x)dx f2(x)dx ；(3)f(x)dx f(x)dx f(x)dx (其中acb).探究点一定积分的概念问题1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一
3、个特定形式和的极限问题2怎样正确认识定积分f(x)dx?答(1)定积分f(x)dx是一个数值(极限值)它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外f(x)dx与积分区间a，b息息相关，不同的积分区间，所得值也不同(2)定积分就是和的极限(i)x，而f(x)dx只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b的定积分”(3)函数f(x)在区间a，b上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)例1利用定积分的定义，计算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割：在区间0,1上等间隔地插入n1个分点，把区间0,1等分成n个小区间
4、，(i1,2，n)，每个小区间的长度为x.(2)近似代替、作和：取i(i1,2，n)，则x3dxSnf()x ()3i3n2(n1)2(1)2.(3)取极限x3dxSn (1)2.小结利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤跟踪训练1用定义计算(1x)dx.解(1)分割：将区间1,2等分成n个小区间(i1,2，n)，每个小区间的长度x.(2)近似代替、求和：在上取点i1(i1,2，n)，于是f(i)112，从而得(i)x(2)n012(n1)22.(3)取极限：S 2.因此(1x)dx
5、.探究点二定积分的几何意义问题1从几何上看，如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么f(x)dx表示什么？答当函数f(x)0时，定积分f(x)dx在几何上表示由直线xa，xb(a0，f(i)0，故f(i)0.从而定积分f(x)dx0，这时它等于如图所示曲边梯形面积的相反值，即f(x)dxS.当f(x)在区间a，b上有正有负时，定积分f(x)dx表示介于x轴、函数f(x)的图象及直线xa，xb(ab)之间各部分面积的代数和(在x轴上方的取正，在x轴下方的取负)(如图)，即f(x)dxS1S2S3.例2利用几何意义计算下列定积分：(1)dx；(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y
6、表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)由直线x1，x3，y0，以及y3x1所围成的图形，如图所示：(3x1)dx表示由直线x1，x3，y0以及y3x1所围成的图形在x轴上方的面积减去在x轴下方的面积，(3x1)dx(3)(331)(1)216.小结利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定跟踪训练2根据定积分的几何意义求下列定积分的值：(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.解(1)如图(1)，xdxA1A10.(2)如图
7、(2)，cos xdxA1A2A30.(3)如图(3)，A1A2，|x|dx2A121.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)探究点三定积分的性质问题1定积分的性质可作哪些推广？答定积分的性质的推广f1(x)f2(x)fn(x)dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx；f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx(其中nN*)问题2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？答奇、偶函数在区间a，a上的定积分若奇函数yf(x)的图象在a，a上连续不断，则f(x)dx0.若偶函数yg(x)的图象在a，a上连续不断，则g(x)dx2g(x)dx.例3计算(x3)dx的值解如
8、图，由定积分的几何意义得dx，x3dx0，由定积分性质得(x3)dxdxx3dx.小结根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算跟踪训练3已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12；(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126；(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx327.4已知sin xdxsin xdx1，x2dx，求下列定积分：(1)sin xdx；(2) (sin x3x2)dx.解(1)sin xdxsin xdxsin xdx2；(2) (sin x3x2)dxsin xdx3x2dx1.1定积分f(x)dx是一个和式f(i)的极限，是一个常数2可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分3定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算 2 / 4
