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1、第31讲 离心率范围的求法近些年高考题和各地模拟题中有关圆锥曲线问题的一个高频考点就是求离心率，本人尝试从近些年的考题中找出一些此类问题的常用的几种方法，就是利用各种比如几何性质、图形特点等等的条件通过转化成有关离心率的方程式或者不等式来求圆锥曲线的离心率或离心率的取值范围，以期能在解决问题时有所帮助。关键词：圆锥曲线;离心率;方程式;不等式在圆锥曲线的题型中求离心率的题目是近些年全国卷新高考中经常考查的题型，其对于新高考试卷中的重要性不言而喻，同时也是高考中的考查核心素养的一个关键问题和转化、函数、方程等数学思想，针对这类问题的求解思路是由条件求出方程和不等式，一般是两种情况：1、是由条件来
2、求出离心率;二是由条件来求离心率取值范围的问题。因为它用到圆锥曲线中很多的条件，方程不等式等问题等等，于是就产生了在解决问题中的情况比较复杂，在求解过程中无从下手。以下是从这些年的一部份高考题与各地的质检题的探究、解答，探求对解决问题比较有用的一些方法和策略，期望可以抛砖引玉，拨云见日。一、 根据条件先求出a，c或构造一个关于a、b、c、e的齐次方程式求e，利用e=求解。其关键是找出a，c的两个关系式从而求e.这类问题的难点在于找到相关的关系变量或几何性质从而建立其关系式。二、有关圆锥曲线的离心率取值范围的题型此种题型为近些高考的的难点，它的核心是怎么根据题目所给的条件列出方程或不等式的关系式
3、来求出e的取值范围.经常尝试由以下两种方法进行探究：1、考虑从圆锥曲线的几何性质和它的相关量比如夹角、边长的大小等;2、是通过圆锥曲线本身的条件以及几何性质等列出不等式.這种方法一般从以下几个方面考虑问题：（1）由已知条件直接找出一个不等式来求e（2）利用条件转化为函数来求离心率取值范围（3）利用三角形三边关系（4）由一些特殊的不等式性质来列出不等式解决问题（5）利用三角函数的特点来求解【方法总结】圆锥曲线离心率的范围是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁【典例】(1)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1
4、，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为()A. B. C2 D.【解析】方法一由双曲线的定义知|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，故联立，解得|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2，要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，解得e，即e的最大值为，故选B.方法二由双曲线的定义知，|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a，|F1F2|2c，aa2c，即双曲线的离心率e的最大值为.(2)已知P是以F1，F2为左、右焦点的椭圆1(ab0
5、)上一点，若F1PF2120，则该椭圆的离心率的取值范围是_【解析】当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角F1PF2逐渐增大，当P点位于短轴端点P0处时，F1PF2最大存在点P为椭圆上的一点，使得F1PF2120，在P0F1F2中，F1P0F2120，在RtP0OF2中，OP0F260，即3，即，eb0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B ，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若|k|，则椭圆C的离心率的取值范围是_【解析】设F(c,0)，将xc代入椭圆的方程，可得1，解得y，B，又A(a,0)，直线AB的斜率为k(1e)|k|，0e1，1e，解得eb0
6、)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB|a，所以|OA|a，所以点A的坐标为，又点A在椭圆上，所以1，所以a23b2，所以a23(a2c2)，所以3c22a2，所以椭圆的离心率为e.2已知中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点F1(c,0)，F2(c,0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|F1F2|且|PF2|5.若椭圆C1的离心率e1，则双曲线C2的离心率e2的取值范围是()A. B.C(2,3) D.【解析】设椭圆的方程为1(ab0)，由|PF1|F1F2|且|PF2|5知，2a52ce1.设双曲线的方程为1(m0，n0)，同理，可得e2
7、.由e1知，2c，故e2(2,3)3已知P是椭圆1(ab0)上的一点，椭圆长轴的两个端点为A，B，若APB120，则该椭圆的离心率的取值范围是_【解析】设Q是椭圆的短轴的一个端点，则AQBAPB120，于是AQO60，ab，即a23(a2c2)，又0e0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|2c，过F2作x轴的垂线，与双曲线在第一象限的交点为A，点Q的坐标为且满足|F2Q|F2A|，若在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|PQ|F2A|，得，所以2，所以e.因为|PF1|PQ|2a|PF2|PQ|2a|F2Q|，又在双曲线C的右支上存在点P使得|PF1|PQ|F1F2|成立，所以2a|F2Q|F1F2|，即2a，又e1，所以e.
