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1、数学教材中的函数概念分析重庆师范大学 数学与应用数学 2001级 周宇 指导老师 陈道平摘 要：本文论述了函数概念的发展及大、中、小学数学教育中的函数概念。主要分析了中学课本中的函数概念，这些分析有利于加深对函数概念的理解，有助于培养学生的数形结合思想和使他们把握函数同其它数学知识的联系。关键词：函数；集合；对应；映射；方程。Abstract: This article elaborated in the function concept development and the university, high school and elementary schools mathematics
2、 education function concept. Mainly has analyzed in the middle school textbook function concept .These analyses is advantageous in deepens to the function concept understanding, Is helpful in raises students number shape union thought and causes them to grasp the function with other mathematics know
3、ledge relations.Key words: Function, set, correspondence, mapping, equation.一、引言函数知识贯串大、中、小学数学教学。在中学数学中函数更具有核心地位。它研究变量，反映一个变化过程。在此前，学生接触的基本上是常量的内容，正是从接触函数概念开始才学会变化的观点，这个过程是一个相当漫长的过程。而我们数学教学中安排的，学习认识函数概念的先后，也是与函数概念史的发展相一致，这从我们几次课改的精神就得以体现。因此有必要把函数概念的创立及发展史同当今数学教育溶为一体，去看函数概念的进展及数学教育，它能使两者相互渗透，相得益彰。最早提
4、出函数概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨。如 x,x1,x2,x3都叫函数。以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线的上一点的横坐标，纵坐标。在我国，“函数”一词最早是清代数学家李善兰于1859年翻译代微积拾级中使用的。对”function”译成“函数”。古代“函”与“含”通用。其含义为：若一解析式中“包含”着变量x，那么，这个式子就是x的函数。二、小学数学中的函数概念函数概念的萌芽数学作为反映现实世界的空间形式和数量关系的一门学科，在历史上是沿着数与形两个方向同时发展起来的，当然函数也不例外。函数概念的起源最早和人们对动点轨迹的研究密不可分。在描绘物体运动的曲线时，人们提出变数的概念。根据一个
5、变数的变化而变化的全貌，这方面是解析几何的诞生历程，另一方面是函数思想的最初萌芽。 从数上看我们当代的小学数学主要学习的是“加、减、乘、除四则混合运算，若改变其加数、减数、乘数和除数后，其和，差、积、商也随着改变，像这样的简便运算不正是根据一个变数的变化引出另一个变量的变化吗1？举个例子102=5的2，10，5三者为核心，并推广开来12=0.5，32=1.5，42=2说明被除数的变化引起了商的变化。反过来0.52=1，1.52=3，22=4。说明被乘数的变化，引起了积的变化，用我们初中的函数概念加以指导即是y=2x的关系。这里虽然没有明确提出函数概念，但已经蕴含了两个变量间的相互依赖、相互制约
6、的古典函数概念思想。三.初中数学中的函数概念从代数观点定义函数莱布尼茨最早在其手稿中提出了函数概念，用函数一词来表示依赖于一个变量的量，他的函数思想是从型当中刻画函数。莱布尼茨的思想对于初中生来说，认识函数还有一定高度。1718年莱布尼茨的学生，瑞士数学家约翰.伯努利给函数如下定义：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数贝努利所强调的是函数要用公式来表示这就从形当中转到数上来，有利于我们的理解，但却不完善。21755年18世纪著名的数学家欧拉在他的微分学原理中进一步作了推广。他说：“如果某些量以这样的的方式依赖于另一些量，即当后面这些量变化时前面这
7、些变量也随之变化，则前面的量称为后面变量的函数。在欧拉的定义中感觉到就不强调函数要用公式表示了由于函数不一定要用式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数他认为：“函数是随意画出的一条曲线。”欧拉的研究用代数分析了几何，但在我们初中函数领域当中没有提出来，但确是函数的本质。举个例子。 例1（1989年的一道高考题3），已知=a0+a1x+a2+a7那么 a1+a2+a7= 从形式上看这是高中二项式定理的题，但这样展开会很复杂。若用函数变量思想的角度去思考，即便是初三的学生也能做分析：把x看作自变量，当x=0时，得a0=1，当x=1时得 ao+a1+a2a7=-1,故 a1+a2+ +a7=-2
8、1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学本的函数定义：课“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数，在柯西的定义中，首先出现了自变量。柯西的特点是把数和形统一了起来，明确指出了对应关系、定义域和值域。我们称具有上述特点的函数定义为古典函数定义。数形结合思想，是函数教学的难点，对初中学生来说掌握好函数的概念对数形结合思想有切实意义。比如图一2表示的函数到底是一次函数还是二次OXY图一 学生对此感到茫然，他们不会用函数的定义去分析图形，更忽视了形与数的结合。因此在教学过程中应加强数形方面的教学。十九世纪中叶，
9、人们对函数定义都抛弃了解析式的束缚，突出了对应思想。同时还存在两点不足：一是仅仅局限于数与数的对应即数值函数的认识上面，二是函数定义叙述中始终称“y是x的函数”。没有意识到“函数”一词应当指对应关系本身，而不是参与对应关系的某个变量。在我们现行的初中人教版教科书上6函数的定义是：“设在某个变化的过程中有两个变量x和y，如果对于 x在某一范围内的每一个确切的值和它对应。那么就把y叫做x的函数。” 对比以上的函数概念，均是强调变量运动的观点，在较我们用集合对应变化的观点较早，我们称它为古典的函数定义。其实我们初中数学的内容主要是十六世纪到十八世纪欧洲文艺复兴的产物。而函数定义实为其教学内容的核心，
10、因此理解好函数的定义在整个初中数学的教学均是关键。初中数学也可简称为符号数学，从行上看古典的欧几里德几何学符号化即为我们的初中几何学。它研究的内容实质就是研究图形中的数量关系。如圆面积同半径的关系（s=），圆周长同半径的关系（s=2）等等。当人们用解析式表示各数量关系的同时也就产生了几何量之间的相互关系，相互制约的函数观念。若用函数观点看方程则方程可以看成是：求函数在零点时的值，或看成当自变量取何值时函数相等。在对方程组理论的研究中，必然出现不定方程这就是函数的解析表达式。所以，对方程的研究实质上就是对函数的研究。这一过程可由下述图二表示：图二函数概念方 程（组）不定方程函数解析式例24.求函
11、数y=的值域。分析：显然，函数定义域为R，也就是说无论x为任何实数，等式y=恒成立，即关于 x的方程（y-1）x+(y+1)x+y-1=0恒有解。当y=1时，x=0，上述等式成立；当y1时，方程有解的充要条件是0，即(y+1)-4(y-1)0，解得y3且y1，综上，知原函数的值域为，3。四高中函数概念从集合论上定义函数1834年，俄国数学家罗巴契夫斯基进一步提出函数的定义：“的函数是这样的一个数，它对于每一个都有确定的值 “并且随着一起变化函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的“，这个定义指出了对应关系（条
12、件）的必要性，利用这个关系以求出每一个的对应值罗巴契夫斯基指出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系探讨函数的必要性是非常关键的。在我们高中人教版新教材（试验修订本.必修）中在函数一章教学中的安排是将一种特殊的对应映射放在第一节。而后一年的优化版迅速将以数集对应来探讨函数放在了第一节。这一微小的变动正是印证了函数概念的发展规律。在高中教学中许多有经验的老师为了便于学生学习函数概念。常将函数概念精炼为“数与数之间寻求某种对应的依赖关系（或数与数之间的依赖关系）数x数yAf对应法则B图三这就是函数。1837年德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于
13、的每一个值，总有一个完全确定的值与之对应，则是的函数”这个定义抓住了概念的本质属性，变量称为的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式这个定义比前面的定义带有普偏性，为理论研究和实际应用提供了方便因此，这个定义曾被比较长期的使用着19世纪末20世纪初。把函数看作一种对应或者映射的思想已经完成数学家们更多关注自变量的取值范围，这不仅是因为实际问题给数学提出了相应的课题，更主要的是集合论的诞生改变了人们的思考。从19世纪70年代开始，康托尔在证明了任意函数都可以唯一地展成傅立叶级数后，发表了一系列文章，从而开
14、创了一个崭新的数学分支集合论。没用多少年，集合论的思想和方法就开始深入到数学的各个领域。所以人们尝式用集合论的语言重新叙述函数的定义。布尔巴基学派1939年给出了函数的一个较完整的定义：设E和F是两个集合，他们可以不同，也可以相同。E中的一个变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数，如果对每一个xE，都存在唯一的yF，它满足更x给定关系。我们称这样的运算为函数。它从上述的方式将跟x的给定关系yF与每一个xE相联系。我们称为y是函数在元素x处的值，函数由给定的关系所确定。两个等价的函数关系确定同一个函数。这个定义之所以严密性上优越先前的函数概念，一方面在于它用集合的语言定义了自变量、应变量
15、的取值范围和它们的对应法则；另一方面在于该定义中不含未定义的概念，如19世纪的函数概念中都含有“对应”，而究竟怎样对应我们没有严格定义。维布伦1给出了类似高中教材的定义：“在变量y的集合与另一个变量x的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，y有确定的值与之对应，这样的对应关系“f”，称做变量y在集合上的一个函数。”这里x，y所在的集合概念没有元素，元素是任意的不受约束的。实际上就是把映射归化为广义的函数这里的归化，对我们中学生而言是不容易理解的，易混的，但它却拓宽了数值函数的范围，把对应关系“f”称为函数，所以它是古典函数概念上的一次飞跃。高中人教版（试修本）7用映射刻画了函数。定义为“设A、B都是非空的数集，那么AB的映射f就叫做A到B的函数。记作y=f(x)其中xA，yB。原象集合叫做函数f(x)的的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域。很明显CB
